Καπέλα μαθηματικών

Στο τέλος ενός μαθηματικού συνεδρίου, οι $100$ μαθηματικοί έφυγαν από το πάρτι ένας-ένας, και ο καθένας σταμάτησε για να πάρει το καπέλο του/της στην έξοδο.

Δυστυχώς, ο πρώτος μαθηματικός ήταν μύωψ και πήρε ένα καπέλο που δεν ήταν το δικό του. Κάθε επόμενος μαθηματικός που έφευγε από το πάρτι έπαιρνε το δικό του καπέλο, αν ήταν διαθέσιμο, ή έπαιρνε ένα καπέλο τυχαία. 

Ποια είναι η πιθανότητα ο 100ος μαθηματικός που θα φύγει από το πάρτι να αποκτήσει το δικό του καπέλο;