Μαθηματικά: Mystical αριθμοί, σφαίρες και μια γυναίκα

Υλικό από τα στοιχειώδη Μαθηματικά για μακροχρόνια απόλαυση - Ποια ήταν αυτοδίδακτη μαθηματικός Μαρί-Σοφί Ζερμέν

Οσοι ασχολούνται με διαγωνισμούς του τύπου Ολυμπιάδα των Μαθηματικών ή διαφόρων μαθηματικών οργανισμών στο εσωτερικό και στο εξωτερικό γνωρίζουν πως αρκετές φορές ένα από τα προβλήματα που τίθενται λύνεται με τη χρήση μιας ταυτότητας γνωστής ως «Ταυτότητα της Σοφί Ζερμέν»!

Το 1837 ο Γκάους έγραφε: «Απέδειξε στον κόσμο πως ακόμη και μια γυναίκα μπορεί να επιτύχει κάτι αξιόλογο στην πιο αυστηρή και αφηρημένη από τις επιστήμες (εννοώντας τα Μαθηματικά) και γι’ αυτόν τον λόγο θα της άξιζε μια τιμητική διάκριση». Αφήνοντας στην άκρη το απαράδεκτο για τα σημερινά τουλάχιστον δεδομένα ύφος αυτής της μετά θάνατον αποτίμησης από τον μεγάλο μαθηματικό, μένουμε στην αναζήτηση περισσότερων στοιχείων για αυτή τη γυναίκα που δυστυχώς τα σχολικά μαθηματικά αγνοούν εντελώς.

Η Μαρί-Σοφί Ζερμέν (Marie-Sophie Germain) ήταν μια Γαλλίδα, γεννημένη στο Παρίσι, που έζησε από το 1776 έως το 1831 και παρά τις δυσκολίες εκείνης της εποχής για τις γυναίκες γενικότερα, επέμενε να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά. Και δεν υπήρχε τότε άλλος τρόπος για μια γυναίκα από το να κάθεται σπίτι της και να διαβάζει κάποια σχετικά βιβλία.

Μια «κακή» συνήθεια

Στα δεκατρία της η πτώση της Βαστίλλης έκανε τους πλούσιους να κλειστούν στα σπίτια τους και τη Σοφί στην πατρική βιβλιοθήκη. Και ευτυχώς που υπήρχε η βιβλιοθήκη του πολύ ευκατάστατου πατέρα της. Τη σπίθα στο μυαλό της για τα Μαθηματικά άναψε η αφήγηση για τον θάνατο του Αρχιμήδη. Και από τότε διάβαζε με τόσο πάθος που οι δικοί της έφθαναν να σβήνουν το τζάκι τη νύχτα για να της κόψουν, όπως πίστευαν, αυτή την «κακή συνήθεια».

Με τα βιβλία όμως του Οϊλερ, τις συχνές συζητήσεις με καλά διαβασμένους προσκεκλημένους στο πατρικό σαλόνι και ένα μυαλό που τη βοηθούσε να δίνει λύσεις στις δυσκολίες, προχώρησε πολύ. Διότι για τις απορίες της είχε εφεύρει και τον ψεύτικο «Κύριο Λεμπλάν», όπου με αυτή την ψεύτικη ταυτότητα κατόρθωνε να αλληλογραφεί ακόμα και με τους κορυφαίους εκείνης της εποχής, Λαγκράντζ, Λεζάντρ και Γκάους.

Η αλήθεια είναι πως δεν μπόρεσε να συνεργαστεί ισότιμα με κάποιον από αυτούς και συνέχισε μέχρι τον θάνατό της, εξαιτίας ενός καρκίνου του μαστού, μια μοναχική αλλά πολύ γόνιμη, όπως θα δούμε, πορεία στα Μαθηματικά και στη Φυσική.

Στον μύλο του ρεβόλβερ

Ενας απαγωγέας διαθέτει όπλο ρεβόλβερ με 6 θαλάμους για τις σφαίρες. Τοποθετεί δύο σφαίρες σε δύο διαδοχικούς θαλάμους και δίνει στροφές στον μύλο του όπλου. Ολα αυτά μπροστά στο θύμα της απαγωγής. Στη συνέχεια στρέφει το όπλο εναντίον του απαχθέντος και πιέζει τη σκανδάλη. Ευτυχώς έπεσε σε άδειο θάλαμο και δεν σκοτώνεται το θύμα της απαγωγής. 

Στη συνέχεια προσφέρει στο θύμα του την εξής επιλογή: 1) Να τον πυροβολήσει ξανά χωρίς να περιστραφεί ξανά ο μύλος ή 2) Να περιστρέψει τον μύλο και μετά να πυροβολήσει. Αν επιβίωνε και τη δεύτερη αυτή φορά τότε θα τον απελευθέρωνε.

Ποια πιστεύετε ότι θα έπρεπε να είναι η επιλογή του απαχθέντος για να μεγιστοποιήσει τις πιθανότητες επιβίωσής του; Η λύση δεν απαιτεί κάποιες προχωρημένες γνώσεις στη θεωρία των πιθανοτήτων και μάλλον αντίθετα είναι μια καλή στοιχειώδης και προσιτή στον καθένα εισαγωγή σε αυτές.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ενας θετικός ακέραιος χαρακτηρίζεται ως mystical αν είναι τουλάχιστον διψήφιος και έχει το εξής χαρακτηριστικό: Αρχίζοντας από αριστερά κάθε δύο διαδοχικά ψηφία του να σχηματίζουν αριθμό που να είναι τέλειο τετράγωνο. Π.χ. ο 164 είναι ενώ ο 162 όχι. Ζητούμε τον μεγαλύτερο πενταψήφιο mystical number.

2. Μία ακόμη πρόκληση για τους μικρότερους «αναγνώστες» μας που τώρα μαθαίνουν τα σχετικά με τα ποσοστά: Σε σχολείο με Δημοτικό και Γυμνάσιο έχει δημιουργηθεί μια ομάδα παιδιών από την τελευταία τάξη του Δημοτικού και την πρώτη του Γυμνασίου που αγαπούν τα Μαθηματικά. Από την τάξη του Δημοτικού το 60% είναι αριστερόχειρες και το 40% δεξιόχειρες. 

Από την τάξη του Γυμνασίου 10% αριστερόχειρες και 90% δεξιόχειρες. Κανένα παιδί δεν γράφει και με τα δύο χέρια. Οι δεξιόχειρες μαθητές είναι όσοι και οι αριστερόχειρες. Ποιο είναι το ποσοστό των παιδιών του Δημοτικού σε αυτήν τη μεικτή ομάδα;

3. Εδώ έχουμε κάτι χρήσιμο που προκύπτει από τη λύση και ο αναγνώστης να μην είχε προσέξει στο παρελθόν. Ψάχνουμε για όλους τους θετικούς ν αριθμούς που το άθροισμά τους 1!+2!+3!+4!+…+ν! είναι τέλειο τετράγωνο. Αλλά ακόμη και κάτι άλλο: Τους θετικούς ακεραίους ν που κάνουν το άθροισμα (ν! + 2023) τέλειο τετράγωνο.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ηταν κάτι για τους μικρότερους φίλους της σελίδας: Ο Γιάννης και η Μαρία καλούν φίλους να φάνε όλοι μαζί στο σπίτι τους. Η Μαρία κάλεσε τρεις φίλες της και ο Γιάννης δύο φίλους του. Για το φαγητό που έβαλαν στο τραπέζι ξόδεψαν 35 ευρώ. Ο Γιάννης και η Μαρία ήθελαν να μοιραστούν τα έξοδα δίκαια μεταξύ των δύο. 

Πόσα έπρεπε να πληρώσει ο Γιάννης και πόσα η Μαρία; Σίγουρα όχι μοιράζοντας τα 35 ευρώ στα 5. Ωστε να πληρώσει η Μαρία 21 και ο Γιάννης 14 ευρώ. 

Διότι απλούστατα όλοι μαζί που έφαγαν ήσαν 7 και όχι 5, οπότε ο κάθε ένας κόστισε 35/7 = 5 ευρώ, άρα η Μαρία πρέπει να πληρώσει για 4 μερίδια και ο Γιάννης για 3. Επομένως η Μαρία δίνει 5 x 4 = 20 ευρώ και ο Γιάννης 5 x 3 =15 ευρώ.

2. Στον αριθμό 200 αντικαθιστούμε κάθε φορά ένα μόνον από τα ψηφία του με έναν από τους 0,1,2,…,9. Πόσοι πρώτοι αριθμοί θα προκύψουν; Η αντικατάσταση στα πρώτο και στο δεύτερο ψηφίο αρχίζοντας από αριστερά δεν μπορεί να δώσει πρώτο αριθμό αφού το τρίτο ψηφίο που θα είναι μηδέν κάνει τον αριθμό διαιρετό με το 2, με το 5 κ.λπ. 

Πηγαίνουμε στο ψηφίο των μονάδων. Αρκεί να εξετάσουμε τι συμβαίνει με τα ψηφία 3 και 9, διότι με τα άλλα οι γνωστοί κανόνες διαιρετότητας δίνουν αμέσως απάντηση πως κανείς δεν είναι πρώτος. Δηλαδή μένει να εξετάσουμε τους 203 και 209. Εδώ, μόνον για το 7 και το 11 χρειάζεται να εξετάσουμε τη διαιρετότητα. 

Υπάρχουν κανόνες και γι’ αυτά, μόνον που εδώ η απλή δοκιμή είναι πιο σύντομη. Τελικά κανένας πρώτος αριθμός δεν προκύπτει (203/7 = 29) και (209/11 = 19).

3. Μπορεί ένας αριθμός που αποτελείται από 600 εξάρια και κάποια μηδενικά να είναι τέλειο τετράγωνο; Ας δώσουμε πρώτα ένα παράδειγμα για να γίνει πιο κατανοητός ο συλλογισμός μας μετά. Ο 8100 είναι τέλειο τετράγωνο (90×90). 

Ο αριθμός των μηδενικών στο τέλος είναι πάντα άρτιος και μπορούμε να τα βγάλουμε γράφοντας 8100 = 81 x 102 και να εξετάσουμε τι γίνεται με τον 81. Ετσι κάνουμε και με τον αριθμό με τα εξάρια. Αφήνουμε στην άκρη τα μηδενικά στο τέλος που δεν μας είπαν και πόσα είναι και εξετάζουμε τον υπόλοιπο αριθμό. 

Επειδή 6=2×3 θα μας προκύψουν 600 τριάρια και μερικά μηδενικά, δηλαδή ένας αριθμός του τύπου 2Β που να λήγει σε 3. Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο αφού κανείς από τους 1 έως 9 όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του δεν δίνει αριθμό με τελευταίο ψηφίο 3. Υπάρχει και το 2 μπροστά που επίσης αποκλείει το τέλειο τετράγωνο.

Πηγή: vima.gr