Σε ένα κατάστημα ο ταμίας μπερδεύτηκε και αντί να προσθέσει τις τιμές των τεσσάρων προϊόντων που αγόρασε ένα πελάτης, τις πολλαπλασίασε.
Το κατάλαβε ο πελάτης και του είπε να το διορθώσει. Το διόρθωσε ο ταμίας και τα πρόσθεσε. Με έκπληξη διαπίστωσε ότι η τιμή ήταν ίδια ! Πόσο κόστιζαν τα τέσσερα προϊόντα;
Βάσει των δεδομένων της εκφώνης του προβλήματος έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
ΑπάντησηΔιαγραφήα+β+γ+δ=7,11 (1)
α*β*γ*δ=7,11 (2)
Μετατρέπουμε τα ευρώ σε σεντς, κι’ έχουμε:
α+β+γ+δ=711
α*β*γ*δ=(100α)(100β)*(100γ)*(100δ)=100.000.000*(α*β*γ*δ)=
=100.000.000*(7,11)=711.000.000
Μετατρέπουμε τον αριθμό 711.000.000 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
711.000.000=(711)*(10^6)=(79)*(3^2)*(2^6)*(5^6)
Ο στόχος μας είναι να αναδιατάξουμε αυτούς τους 13 πρώτους παράγοντες σε 4 συνδυασμούς που ικανοποιούν τις συνθήκες.
Σαφώς ένας από τους συνδυασμούς είναι πολλαπλάσιο του 79: 79, 178, 237, 316, 395, 474, 553.
Για να ληφθούν όλα αυτά τα μηδενικά στο τέλος του γινομένου, δύο από τα γινόμενα πρέπει να περιέχουν 2*5 το ένα να είναι περιττό πολλαπλάσιο του 5 και το άλλο να είναι άρτιο.
Τώρα αν το 711 είναι πολλαπλάσιο του 79 + ένας αριθμός που πρέπει να τελειώνει σε 5, τότε το 79*2*2=316 πρέπει να είναι ένας από τους αριθμούς.
Δεδομένων των παραγόντων που απομένουν, ο δεύτερος αριθμός είναι 3*3*5, 3*5*5 ή 5*5*5, αφού όλοι οι παράγοντες πρέπει να είναι περιττοί. Οποιοσδήποτε από τους πρώτους θα ανάγκαζε τους άλλους δύο αριθμούς να είναι πολύ μεγάλοι για να έχουν άθροισμα 711, γι’ αυτό αφήνει τους παράγοντες 3,3,2,2 και 5 να επεξεργαστούν στους συνδυασμούς μας.
Άρα ο δεύτερος αριθμός είναι 5*5*5=125.
Οι άλλοι δύο αριθμοί πρέπει να είναι συνολικά 270, γιατί 711-316-125=270. Χρησιμοποιώντας 3*5 και 2*2*3, παίρνουμε:
(79*2*2)*(5*5*5)*(3*5*2*5)*(2*2*3*2*5)=(316)*(125)*(150)* (120)
Τα τέσσερα ποσά είναι:
3,16€ - 1,25€ - 1,50€ - 1,20€
Επαλήθευση:
α+β+γ+δ=7,11€ ===> 3,16+1,25+1,50+1,20€=7,11€
α*β*γ*δ=7,11 ===> 3,16*1,25*1,50*1,20€=7,11€ ο.ε.δ.