Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 27ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Αν  τέτοιοι ώστε  να αποδείξετε ότι

ΘΕΜΑ 2ο

Σε ένα πάρτι συμμετείχαν 2021 άτομα. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρία από αυτά κάποιος από αυτούς (τους τρεις) γνωρίζει τους άλλους δύο. Να δείξετε ότι κάποιος από τους συμμετέχοντες γνωρίζει όλους τους υπόλοιπους.

ΘΕΜΑ 3ο

Για κάθε θετικό ακέραιο  συμβολίζουμε με  το μέγιστο περιττό διαιρέτη του. Να υπολογίσετε το άθροισμα

ΘΕΜΑ 4ο

Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο  με  και έστω  το έγκεντρό του. Οι ευθείες  και  τέμνονται στο .

Αν  και , να υπολογίσετε το μήκος του τμήματος .

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica