Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 26ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Ένα σύνολο  αποτελείται από  ευθείες του επιπέδου. Κάθε ευθεία του συνόλου  τέμνει ακριβώς  άλλες ευθείες του  Να βρείτε το 

ΘΕΜΑ 2ο

Βάφουμε καθένα από τα κελιά ενός πίνακα  είτε μαύρο είτε άσπρο. Τα τέσσερα σημεία τομής δύο γραμμών και δύο στηλών ορίζουν ένα κουαρτέτο. Ένα κουαρτέτο λέγεται κακό όταν όλα τα κελιά του έχουν το ίδιο χρώμα.

Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του  για την οποία υπάρχει πίνακας  χωρίς κακά κουαρτέτα.

Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαύρων κελιών σε αυτήν την περίπτωση;

ΘΕΜΑ 3ο

Ο Γιώργος έχει στη διάθεσή του απεριόριστα χρώματα. Μια μέρα έβαψε κάθε θετικό ακέραιο με ένα χρώμα. Παρατήρησε ότι:κάθε περιττός αριθμός έχει χρώμα μπλε.κάθε ακέραιος  έχει το ίδιο χρώμα με τον κάθε ακέραιος  έχει το ίδιο χρώμα με έναν τουλάχιστον από τους αριθμούς  και  Να δείξετε ότι ο Γιώργος έβαψε όλους τους ακεραίους μπλε.

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω  πρώτος και  ακέραιος, που δεν διαιρείται με τον 

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι ακέραιοι  τέτοιοι ώστε ο αριθμός  να διαιρεί τον

  

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica