Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 24ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί  και  είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί  και  να είναι ρητοί. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί  και  είναι επίσης ρητοί.

Ισχύει το ίδιο αν  πραγματικοί αριθμοί (όχι απαραίτητα θετικοί);

(Από εδώ: artofproblemsolving)

ΘΕΜΑ 2ο

Θεωρούμε τρίγωνο  με  και έστω  ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Η πλευρά  χωρίζει τον  σε δύο τόξα. Έστω  το μέσο του τόξου που περιέχει το .

(α) Να αποδείξετε ότι .

(β) Αν  το ίχνος της καθέτου από το  στην , να αποδείξετε ότι .

(Από εδώ: artofproblemsolving)

ΘΕΜΑ 3ο

Να βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους  για τους οποίους η ανισότητα

ισχύει για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς .

(Από εδώ: artofproblemsolving)

ΘΕΜΑ 4ο

Σε μια ευθεία βρίσκονται στη σειρά  θετικοί ακέραιοι με άθροισμα  Να δείξετε ότι για κάθε ακέραιο  με 

υπάρχουν διαδοχικοί αριθμοί της ευθείας με άθροισμα ίσο με  ή με 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica