Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 18ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Θεωρούμε τετράπλευρο  όπου  Έστω  το μέσο της διαγωνίου  Αν τα τρίγωνα  και  έχουν το ίδιο εμβαδόν, να αποδείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε όλες τις τετράδες θετικών πραγματικών αριθμών  για τις οποίες ισχύει

 και

  

ΘΕΜΑ 3ο

Μια τετράδα θετικών ακεραίων  λέγεται χαρούμενη αν ισχύει ότι:ο  είναι περιττός πρώτος αριθμόςοι  είναι διαφορετικοί ανά δύοοι αριθμοί  και  διαιρούνται με τον Να αποδείξετε ότι για κάθε χαρούμενη τετράδα  ισχύει

  

Πότε ισχύει η ισότητα;

ΘΕΜΑ 4ο

Πάνω στο τραπέζι βρίσκονται δύο κουτιά με μπάλες. Το ένα από αυτά περιέχει  μπάλες, ενώ το άλλο  μπάλες, όπου  θετικοί ακέραιοι. Επιτρέπεται να εκτελέσουμε όσες φορές θέλουμε και με οποιαδήποτε σειρά τις παρακάτω κινήσεις:

(1) αφαιρούμε ίσο αριθμό από μπάλες από κάθε κουτί

(2) πολλαπλασιάζουμε το πλήθος των μπαλών σε κάποιο από τα κουτιά με 

Είναι δυνατόν με αυτόν τον τρόπο να αφαιρέσουμε όλες τις μπάλες και από τα δύο κουτιά αν:

α) 

β) 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica