Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 17ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Ο καθένας από δεκατρείς νάνους είναι ειλικρινής, ο οποίος λέει πάντα την αλήθεια ή ψεύτης, ο οποίος λέει πάντα ψέματα. Μια φορά όλοι οι νάνοι με την σειρά έκαναν μια δήλωση «Μεταξύ των δηλώσεων, που έγιναν νωρίτερα, ψευδείς είναι ακριβώς δυο φορές περισσότερες, από τις αληθείς». Πόσοι ειλικρινείς θα μπορούσαν να υπάρχουν μεταξύ των νάνων;

(Από εδώ: mathematica)

ΘΕΜΑ 2ο

Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες μη αρνητικών πραγματικών αριθμών  που είναι λύσεις του συστήματος

ΘΕΜΑ 3ο

Έστω  εγγράψιμο τετράπλευρο με  Οι διαγώνιοι  και  τέμνονται στο  Έστω  το έγκεντρο του τριγώνου  και  το δεύτερο σημείο τομής της  με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου  Να αποδείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω  ένας θετικός ακέραιος. Θεωρούμε πίνακα  που αποτελείται από  μοναδιαία τετράγωνα.

Για κάθε θετικό ακέραιο  έχουμε στην διάθεσή μας απεριόριστο πλήθος από ορθογώνια  (τύπου I) και ορθογώνια  (τύπου II). Καλύπτουμε πλήρως τον πίνακα  με  ορθογώνια, χωρίς να επικαλύπτονται, έτσι ώστε το πλήθος των ορθογωνίων τύπου Ι να είναι ίσο με το πλήθος των ορθογωνίων τύπου ΙΙ. (Ένα τετράγωνο  ανήκει και στους δύο τύπους ορθογωνίων)

Να προσδιορίσετε την ελάχιστη δυνατή τιμή του 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica