Το θεώρημα του Pick

Το θεώρημα του Pick είναι ένα θεώρημα που δίνει το εμβαδόν των λεγόμενων πολυγώνων πλέγματος , πολύγωνων των οποίων όλες οι κορυφές βρίσκονται σε σημεία ενός σημειακού πλέγματος. 

Για παράδειγμα, τα σχήματα που εικονίζονται παρακάτω στα δεξιά είναι όλα δικτυωτά πολύγωνα.

Το θεώρημα του Pick δίνει τον τύπο για την περιοχή ενός πολυγώνου πλέγματος $Ε$, ως:

$Ε = I + \dfrac{1}{2}B − 1$

όπου:

• $I$ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος μέσα στο πολύγωνο
• $B$ είναι ο αριθμός των σημείων πλέγματος στο όριο του πολυγώνου, όπου η απόσταση μεταξύ κάθε σημείου πλέγματος είναι $1$ μονάδα.

Βλέποντας τα σχήματα στο πιο πάνω πλέγμα έχουμε:

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι $3 + \dfrac{1}{2}(5) − 1 = 4,5$ τετραγωνικές μονάδες

Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι $1 + \dfrac{1}{2}(8) − 1 = 4$ τετραγωνικές μονάδες

Το εμβαδόν του ακανόνιστου πενταγώνου είναι $8 + \dfrac{1}{2}(6) − 1 = 10$ τετραγωνικές μονάδες

Το εμβαδόν του σχήματος σταυρού $12$ πλευρών είναι $0 + \dfrac{1}{2}(12) − 1 = 5$ τετραγωνικές μονάδες.

Το θεώρημα του Pick μπορεί συχνά να είναι χρήσιμο όταν συναντάτε τέτοια πολύγωνα, αν και δεν είναι γενικά χρήσιμο. Για παράδειγμα, ένα ισόπλευρο τρίγωνο δεν θα μπορούσε ποτέ να είναι δικτυωτό πολύγωνο.