(i) Να βρείτε όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές ακέραιου μήκους για τα οποία η περίμετρος του τριγώνου είναι ίση με το εμβαδόν του τριγώνου.
Εξηγήστε πώς ξέρετε ότι έχετε βρει όλα τα πιθανά τρίγωνα.
.jpg)
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
2 σχόλια:
Αν α,β,γ οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου, με υποτείνουσα τη γ, θα πρέπει να είναι:
ΑπάντησηΔιαγραφήαβ/2=α+β+γ => αβ=2[α+β+sqrt(α^2+β^2)] => αβ=2[α+β+sqrt((α+β)^2-2αβ)]
Θέτουμε αβ=P, α+β=S, οπότε η τελευταία γράφεται:
P=2(S+sqrt(S^2-2P) και μετά από απλές πράξεις καταλήγουμε σε P=4S-8, επομένως:
αβ=4(α+β)-8 => α=4(β-2)/(β-4) & β=4(α-2)/(α-4)
Επομένως οι ελάχιστες δυνατές ακέραιες τιμές για τις πλευρές α,β είναι μεγαλύτερες του 4, άρα όχι μικρότερες του 5. Τιμή β=5 δίνει α=12, γ=13 και η τιμή β=6 δίνει α=8, γ=10. Αντίστοιχα, τιμή α=5 δίνει β=12, γ=13 και α=6 δίνει β=8, γ=10 δηλαδή τα ίδια δύο ορθογώνια τρίγωνα, με απλή αντιπαράθεση των τιμών α και β. Ακόμα μεγαλύτερες τιμές α καθιστούν το β μικρότερο του 5 και τανάπαλιν, όπερ άτοπο.
Επομένως τελικά, υπάρχουν δύο ορθογώνια τρίγωνα, τα
(α,β,γ): (5,12,13) και (6,8,10)
Το ελάχιστο εμβαδόν το έχει το δεύτερο, 24.
αντιμετάθεση, όχι αντιπαράθεση..
Διαγραφή