Θεώρημα
Τρεις θετικοί ακέραιοι αριθμοί $a, b$, και $c$ δεν μπορούν να ικανοποιήσουν την εξίσωση
$a^n + b^n = c^n$
για κάθε ακέραιο αριθμό $n$ μεγαλύτερο από το $2$.
Ο Andrew Wiles είχε ως παιδικό όνειρο να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat. Ήταν µόλις 10 ετών όταν διάβασε για το πρόβληµα αυτό. Ωστόσο, για πολλά χρόνια το παραµέλησε µιας και το πρόβληµα αυτό δεν ήταν πλέον στη µόδα.
Η αϕορµή να ασχοληθεί ξανά µε το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat δόθηκε όταν πληροϕορήθηκε από ένα ϕίλο του ότι ο Ken Ribet απέδειξε την εικασία του Frey. Ο Wiles ηλεκτρίστηκε. Εκείνη τη στιγµή αντιλήϕθηκε ότι η ζωή του άλλαξε. Κλειδώθηκε στη σοϕίτα του και άρχισε να εργάζεται.
Το µεγαλείο του Wiles έλεγε αργότερα ο Frey ήταν ότι πίστευε σε ότι έκανε, όταν ουδείς µαθηµατικός στην υϕήλιο πίστευε όντως ότι µέχρι το τέλος του 20ου αιώνα θα αποδεικνυόταν η εικασία Shimura- Taniyama.
Εργάστηκε µυστικά και σκληρά για 7 χρόνια αποµονωµένος από το κόσµο. Στη διάρκεια της επίπονης αυτής προσπάθειας του, ζήτησε τη βοήθεια µόνο δυο πολύ έµπιστων και εχέµυθων ϕίλων του, των Katz και Peter Sarnak, ώστε να επιβεβαιώνουν τα αποτελέσµατα του βήµα προς βήµα. Τρεις διαλέξεις
Στο τέλος του Ιουνίου του 1993 ο Andrew Wiles ταξίδευσε αεροπορικώς για την Αγγλία. Επέστρεϕε στο πανεπιστήµιο του Cambridge όπου είκοσι χρόνια πριν υπήρξε ϕοιτητής.
Ο καθηγητής John Coates, ο οποίος είχε επιβλέψει την εκπόνηση της διδακτορικής του διατριβής, οργάνωνε ένα συνέδριο µε αντικείµενο τη Θεωρία Iwasawa, θέµα πάνω στο οποίο είχε εκπονήσει τη διατριβή του και διέθετε αρκετές γνώσεις.
Του ζήτησε λοιπόν, να δώσει µια σύντοµη ωριαία οµιλία σε θέµα της αρεσκείας του.
Ο Andrew Wiles προς έκπληξη των άλλων που συµµετείχαν στο συνέδριο, λόγω της κλειστότητας του χαρακτήρα του, δέχτηκε. Ζήτησε όµως η οµιλία του να είναι τρίωρη. Είχε έρθει η ώρα να πραγµατοποιήσει το παιδικό του όνειρο.
Κανείς δεν γνώριζε το περιεχόµενο της οµιλίας του, ούτε και το σκοπό αυτής. Την πρώτη µέρα της οµιλίας του ο Andrew Wiles αντάµειψε τους περίπου είκοσι µαθηµατικούς που είχαν έρθει στη διάλεξη του µε ένα ισχυρό και απροσδόκητο αποτέλεσµα. Η αγωνία αυξανόταν. Υπήρχαν ακόµα άλλες δυο διαλέξεις. Τη δεύτερη µέρα η ένταση της παρουσίασης αυξήθηκε. Ο Andrew Wiles παρουσίασε πρωτότυπες ιδέες µε τη µορϕή νέων θεωρηµάτων µαζί µε τις αποδείξεις τους.
Την επόµενη µέρα, Τετάρτη 23 Ιουνίου 1993 ήταν η τελευταία διάλεξή του. Η αίθουσα είχε ξεχειλίσει. Ο Andrew Wiles άρχισε και πάλι να γράϕει ϕαινοµενικά ατέλειωτους τύπους και θεωρήµατα πάνω στο πίνακα. «Υπήρχε µόνο µια ενδεχόµενη αποϰορύϕωση, µόνο µια ενδεχόµενη ϰατάληξη της παρουσίασης του Wiles» είπε αργότερα ο καθηγητής Ken Ribet.
Ο Andrew Wiles τέλειωνε τις τελευταίες γραµµές της απόδειξης µιας αινιγµατικής και πολύπλοκης µαθηµατικής εικασίας, της εικασίας των Shimura-Taniyama. Τότε, ξαϕνικά πρόσθεσε µια τελευταία γραµµή, επαναδιατυπώνοντας µια εξίσωση ηλικίας αιώνων.
Πριν από επτά χρόνια ο Ken Ribet είχε αποδείξει ότι τούτη η εξίσωση αντιϕάσκει µε την εικασία των ShimuraTaniyama.
«Κι αυτό αποδειϰνύει το Τελευταίο Θεώρηµα του Fermat.»
είπε σχεδόν αδιάϕορα.
«Νοµίζω λοιπόν ότι σε τούτο το σηµείο πρέπει να σταµατήσω.»
Σε λίγα λεπτά σε όλο τον κόσµο το ηλεκτρονικό ταχυδροµείο άρχισε να αστράϕτει και µηνύµατα να ξετυλίγονται µέσα από µηχανές fax. Φαινόταν ότι το µυστήριο ηλικίας 350 ετών, το πιο διάσηµο µαθηµατικό πρόβληµα όλων των εποχών, είχε λυθεί.
Οι εϕηµερίδες περιέγραϕαν τον άνθρωπο που κατά τα ϕαινόµενα είχε λύσει το µαθηµατικό πρόβληµα που είχε αντισταθεί περισσότερο από κάθε άλλο και η λύση του παρέµενε πρόκληση για περισσότερο από 350 χρόνια.
Σε µια νύχτα το Andrew Wiles, το όνοµα ενός ήσυχου και αποµονωµένου ανθρώπου, µπήκε σε κάθε σπίτι. Η απόδειξη τουAndrew Wiles περιείχε έννοιες και θεωρίες οι οποίες την εποχή του Fermat ήταν άγνωστες, ακόµα και µέχρι τον 20o αιώνα. Ήταν εποµένως απαραίτητο να επικυρωθούν από ειδικούς ανεξάρτητα του Andrew Wiles.
Η απόδειξη στάλθηκε σε κορυϕαίους µαθηµατικούς. Η αισιοδοξία ωστόσο διάρκεσε λίγο· στη λογική της απόδειξης ανακαλύϕτηκε ένα κενό. Ο Andrew Wiles προσπάθησε να το µπαλώσει αλλά µάταια· αυτό παρέµενε. Ο Wiles αποσύρθηκε στη σοϕίτα του.
Η τελιϰή λύση
Ωστόσο, το πρωινό της ∆ευτέρας της 19ης Σεπτεµβρίου του 1994 ήρθε η ώρα για να δοθεί επιτέλους η λύση του περίϕηµου αυτού προβλήµατος.
Τη λύση την έδωσε ο ίδιος ο Andrew Wiles. Η νέα απόδειξη ήταν διόρθωση αυτής που είχε παρουσιάσει τον Ιούνιο του 1993 στο πανεπιστήµιο του Cambridge, και που προς µεγάλη απογοήτευση του ίδιου ήταν λανθασµένη. Ευτυχώς, ένα χρόνο µετά την κατάρρευση της πρώτης του απόδειξης, και σε µια τελευταία απόπειρα πριν εγκαταλείψει κάθε προσπάθεια βρήκε το λάθος. Είχε βρει την σωστή απόδειξη.
«Ήταν η σηµαντιϰότερη στιγµή σε ολόϰληρη την επαγγελµατιϰή ζωή µου. Ξαϕνιϰά, απολύτως αναπάντεχα ήρϑε η απίστευτη αναϰάλυψη... Ήταν τόσο απερίγραπτα όµορϕη, ήταν τόσο απλή ϰαι συνάµα µεγαλόπρεπη. Την πρώτη νύχτα πήγα σπίτι ϰαι ϰοιµήϑηϰα µε τις σϰέψεις αυτής της αναϰάλυψης. Και το επόµενο πρωί την ξαναέλεγα ϰαι την βρήϰα εντάξει. Ήταν ϰάτι που ήϑελα να το αναϰοινώσω στη γυναίϰα µου µε µεγάλη ιϰανοποίηση. Το βρήϰα! Βρήϰα τη διόρϑωση στην απόδειξή µου!»
Ήταν αλήθεια και όχι όνειρο. Η εικασία του Fermat είχε επιτέλους µετατραπεί σε Θεώρηµα! Ο ίδιος ο Andrew Wiles χαρακτήρισε την απόδειξη του ως απόδειξη του 20ου αιώνα καθώς χρησιµοποίησε την εργασία πολλών µαθηµατικών του 20ου αιώνα.
Σύµϕωνα λοιπόν µε τον ίδιο ήταν αδύνατο να έχει υπόψη του τούτη την απόδειξη ο Fermat όταν έγραϕε στο περιθώριο της σελίδας τη διάσηµη σηµείωση του. Μήπως ο Fermat διέθετε άλλη απόδειξη; Η απάντηση είναι πιθανόν όχι. ∆εν είµαστε όµως απόλυτα βέβαιοι και ίσως δεν το µάθουµε ποτέ.
Η βαθύτερη αξία του θεωρήµατος δεν είναι απλώς ότι το θεώρηµα σχετίζεται µε όλη την πορεία του ανθρώπινου πολιτισµού, αλλά το ότι η τελική λύση του προβλήµατος προέκυψε ανακαλύπτοντας πολύ χρήσιµα µαθηµατικά και ενοποιώντας όλο το εύρος αυτών των µαθηµατικών.
Πρέπει να τονίσουµε ότι η επιχείρηση απόδειξης του θεωρήµατος ήταν έργο πολλών ανθρώπων· ενδεικτικά θυµίζουµε τους Ernst Kummer, Barry Mazur, Frey, Ribet, Shimura και Taniyama.
Κλείνουµε την αναϕορά στην ιστορία του Τελευταίου Θεωρήµατος του Fermat µε κάποια λόγια του Andrew Wiles που περιγράϕουν την επτάχρονη αναζήτηση του Ιερού ∆ισκοπότηρου των µαθηµατικών:
«Ίσως, ο ϰαλύτερος τρόπος για να περιγράψω την εµπειρία µου στα µαϑηµατιϰά είναι να την παροµοιάσω µε την εµπειρία του να εισέρχεσαι σε ένα σϰοτεινό µέγαρο. Εισέρχεσαι στο πρώτο σϰοτεινό, απολύτως σϰοτεινό δωµάτιο. Σϰοντάϕτεις δεξιά-αριστερά ϰαι πέϕτεις επάνω στα έπιπλα. Σιγά, σιγά µαϑαίνεις που βρίσϰεται ϰάϑε έπιπλο.
Και τελιϰά µετά από περίπου έξι µήνες βρίσϰεις το διαϰόπτη ϰαι ανάβεις το ϕως. Ξαϕνιϰά λοιπόν, τα πάντα ϕωτίζονται ϰαι βλέπεις που βρισϰόσουν. Κατόπιν εισέρχεσαι στο επόµενο σϰοτεινό δωµάτιο...»
Απόσπασμα από εργασΊα του Άγγελου Μαντζαφλάρη στο μάθημα «Θέµατα Άλγεβρας & Γεωµετρίας» στο ΕΚΠΑ.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου