Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 11ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Για τους διαφορετικούς ανά δύο θετικούς ακέραιους  γνωρίζουμε ότι  και ότι οι αριθμοί  είναι τέλεια τετράγωνα. Να βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του 

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω  το μέσο της πλευράς  τριγώνου  Η συμμετρική ευθεία της  ως προς την ευθεία  τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου  στο σημείο  Αν  το σημείο τομής της ευθείας  με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , να αποδείξετε ότι 

ΘΕΜΑ 3ο

Να προσδιορίσετε τη μέγιστη τιμή της παράστασης  αν  θετικοί πραγματικοί αριθμοί με

  

ΘΕΜΑ 4ο

Στον πίνακα είναι γραμμένος ένας θετικός ακέραιος  Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τον αριθμό που είναι γραμμένος στον πίνακα με το άθροισμα δύο αριθμών των οποίων το γινόμενο ισούται με τον αριθμό στον πίνακα.

Να προσδιορίσετε τον μικρότερο αριθμό που είναι δυνατόν να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επανειλημμένη εφαρμογή αυτής της διαδικασίας.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica