Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 10ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Δύο φίλοι, ο Αντώνης και ο Βλαδίμηρος, παίζουν το παρακάτω παιχνίδι:

O Αντώνης γράφει στο χαρτί έναν θετικό ακέραιο  που δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Ο Βλαδίμηρος στη συνέχεια προσθέτει στον  τον  και γράφει στο χαρτί το άθροισμα που βρήκε. 

Έπειτα ο Αντώνης προσθέτει στον αριθμό που έγραψε ο Βλαδίμηρος τον  και γράφει το άθροισμά του στο χαρτί κ.ο.κ. Ο πρώτος από τους δύο φίλους που θα γράψει αριθμό που είναι τέλειο τετράγωνο, κερδίζει το παιχνίδι.

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι  που εξασφαλίζουν νίκη στον Αντώνη.

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω  ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  και  το περίκεντρό του. Έστω  το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας  με τον . Έστω ακόμη  το σημείο στο οποίο ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  τέμνει το τμήμα  και  το σημείο στο οποίο ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου  τέμνει το τμήμα . 

Να αποδείξετε ότι

 

ΘΕΜΑ 3ο

Να αποδείξετε ότι

για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς  για τους οποίους .

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα κύκλο είναι σημειωμένα  σημεία. Ένας βάτραχος μπορεί να κάνει άλματα κατά  ή  σημεία κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός αλμάτων που πρέπει να κάνει ο βάτραχος ώστε να περάσει από όλα τα σημεία και να επιστρέψει στην αρχική του θέση;

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →