Γεωμετρικό σχήμα με βήματα

Κατασκευάστε ένα γεωμετρικό σχήμα με μια ακολουθία βημάτων. Στο βήμα $1$, ξεκινήστε με ένα τετράγωνο $4×4$. 

Στο βήμα $2$, επισυνάψτε ένα τετράγωνο $1×1$ σε κάθε πλευρά του αρχικού τετραγώνου, έτσι ώστε τα νέα τετράγωνα να βρίσκονται στην εξωτερική πλευρά του αρχικού τετραγώνου, έχουν μια πλευρά κατά μήκος της πλευράς του αρχικού τετραγώνου και τα μέσα των πλευρών των αρχικού τετραγώνου και του προσαρτημένου τετραγώνου συμπίπτουν. 

Στο βήμα $3$, επισυνάψτε ένα τετράγωνο $\dfrac{1}{4}$×$\dfrac{1}{4}$ στα κέντρα των $3$ εκτεθειμένων πλευρών κάθε ενός από τα $$4 τετράγωνα που επισυνάπτονται στο βήμα $2$. 

Για κάθε θετικό ακέραιο $n$, στο βήμα $n + 1$, συνδέστε τετράγωνα των οποίων οι πλευρές είναι $\dfrac{1}{4}$ όσο οι πλευρές των τετραγώνων που προσαρτήθηκαν στο βήμα $n$ τοποθετώντας τα  στα κέντρα των $3$ εκτεθειμένων πλευρών των τετραγώνων που επισυνάπτονται στο βήμα $n$. Το διάγραμμα δείχνει το σχήμα μετά το βήμα $4$.

Αν αυτό συνεχιστεί για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς $n$, το εμβαδόν που καλύπτεται από όλα τα τετράγωνα που επισυνάπτονται σε όλα τα βήματα είναι $\dfrac{p}{q}$, όπου $p$ και $q$ είναι πρώτοι μεταξύ τους θετικοί ακέραιοι αριθμοί. 

Βρείτε το άθροισμα $p + q$.