ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: Για πολύ δυνατούς λύτες [4]

Έστω $ABCD$ ένα εγγράψιμο τετράπλευρο. Έστω ότι οι ευθείες $AB$ και $CD$ τέμνονται στο $P$ και οι ευθείες $BC$ και $DA$ τέμνονται στο $Q$ . 

Τα ίχνη των καθέτων από το $P$ στις $BC$ και $DA$ είναι $K$ και $L$, και τα ίχνη των καθέτων από το $Q$  στο ${\rm A}{\rm B}$ και $CD$ είναι $M$ και $N$. Το μέσο της διαγωνίου $AC$ είναι η $F$.

Αποδείξτε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων $FKN$ και $FLM$ και η ευθεία $PQ$ διέρχονται από το ίδιο σημείο.