Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 12ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

ΘΕΜΑ 1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις  για τις οποίες ισχύει

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς 

ΘΕΜΑ 2

 φορτηγά είναι διαθέσιμα για τη μεταφορά  κιλών καρπούζια. Κάθε καρπούζι ζυγίζει το πολύ  κιλά, ενώ κάθε φορτηγό μπορεί να μεταφέρει μέχρι  κιλά καρπούζια σε κάθε δρομολόγιο. Αν κάθε φορτηγό μπορεί να κάνει το πολύ ένα δρομολόγιο, να αποδείξετε ότι είναι δυνατόν να μεταφερθούν όλα τα καρπούζια!

ΘΕΜΑ 3

Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων  για τα οποία ισχύει

ΘΕΜΑ 4

Θεωρούμε τρίγωνο  με  Ο εγγεγραμμένος κύκλος  του τριγώνου  εφάπτεται στις πλευρές  στα σημεία 

Η ευθεία  τέμνει τον κύκλο  για δεύτερη φορά στο  Έστω  το σημείο τομής της  με την κάθετη στην  στο 

Έστω, τέλος,  τα σημεία τομής της  με την  και την  αντίστοιχα.

Δείξτε ότι το  είναι το μέσο του τμήματος 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica