Προετοιμασία για τους μαθηματικούς διαγωνισμούς της Ε.Μ.Ε: 11ο ΤΕΣΤ Εξάσκησης (μεγάλοι)

ΘΕΜΑ 1

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις τέτοιες ώστε

για κάθε .

ΘΕΜΑ 2

Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50\,\% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο.

Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία.

ΘΕΜΑ 3

Μας δίνονται 13 ακέραια βάρη. Γνωρίζουμε ότι αφαιρώντας οποιοδήποτε βάρος, μπορούμε να χωρίζουμε τα υπόλοιπα 12 σε δύο ομάδες των έξι με το ίδιο βάρος. Να δείξετε ότι όλα τα βάρη είναι ίσα.

ΘΕΜΑ 4

Έστω τρίγωνο με και το μέσο της πλευράς Έστω, ακόμη, σημείο της πλευράς ώστε Η παράλληλη στην από το και η ευθεία τέμνονται στο Να δείξετε ότι

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica