Υπάρχει άραγε;

Nα εξετάσετε αν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1]\to R$ για την οποία ισχύουν:

i) $f(0)=f(1)=1$

ii) $|f\prime (x)|\le 2$ , για κάθε $x\in [0,1]$ και

iii) $\mid {\int }_0^{1}f(x)dx\mid \le {\displaystyle \frac{1}{2}}.$

VJIMC 2022