4ο ΤΕΣΤ
ΘΕΜΑ 1
Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι
τέτοιοι ώστε 


ΘΕΜΑ 2
Οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί
είναι τέτοιοι ώστε


Να δείξετε ότι

ΘΕΜΑ 3
Η Μαρία έγραψε στα κελιά ενός πίνακα
τους αριθμούς
χωρίς να επαναλαμβάνεται κάποιος από αυτούς.


Στη συνέχεια εκτέλεσε αρκετές (πεπερασμένο το πλήθος) φορές την ακόλουθη κίνηση:
κάθε φορά επέλεγε ένα
τετράγωνο (υπάρχουν 4 τέτοια) και είτε πρόσθετε σε όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1 είτε αφαιρούσε από όλους τους αριθμούς του τετραγώνου 1.

Κάποια στιγμή παρατήρησε ότι και οι 9 αριθμοί του πίνακα
ήταν ίσοι με τον ακέραιο 


Να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του 

ΘΕΜΑ 4
Οι κύκλοι
και
τέμνονται στα σημεία
και
Η εφαπτομένη του
στο
τέμνει τον
στο
και η εφαπτομένη του 









στο
τέμνει τον
στο
Έστω
σημείο τέτοιο ώστε το
να είναι το μέσο του 






Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
είναι εγγράψιμο.

Επιμέλεια: Αθανάσιος Κοντογεώργης
Πηγή: mathematica