ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ: Επαρχιακός Διαγωνισμός Γ ′ ΛΥΚΕΙΟΥ 2022 - Πρόβλημα 4

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g,ℎ:ℝ⟶ℝ$, για τις οποίες ισχύουν όλες οι πιο κάτω συνθήκες: 

(1) $f(x)\ne 0$, για κάθε $x\in ℝ$ 

(2) $g(x)=f(x)\cdot ℎ(x)$, για κάθε $x\in ℝ$ 

(3) ${ℎ}^2(x)=1-[{ℎ}^{\prime }(x){]}^2$, για κάθε $x\in ℝ$ 

Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ έχουν κοινή εφαπτομένη σε κάθε ένα από τα κοινά τους σημεία.