Challenging Recreational Mathematics: Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Δευτέρα 1 Μαΐου 2023

Ο νόμος της εκθετικής μεταβολής

Γιατί ο νόμος της εκθετικής μεταβολής καθορίζει την εξέλιξη πολλών φαινομένων;

Πως ορίζεται και γιατί ο αριθμός του Euler είναι άρρηκτα συνδεδεμένος με αυτά τα εκθετικά φαινόμενα;

Ποια στοιχειώδης διαδικασία συντελείται στον πυρήνα αυτών των φαινομένων αναδεικνύοντας έναν απ’ τους διασημότερους αριθμούς στην ιστορία των Μαθηματικών;

Θα αποτελέσει ευχάριστη έκπληξη το γεγονός ότι, στο πλαίσιο της μελέτης του νόμου της εκθετικής μεταβολής, θα έρθουμε σε επαφή, τουλάχιστον περιγραφικά, με τις έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος, καθώς και με τη διασύνδεσή τους, ψηλαφίζοντας μέχρι και το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Εκθετική αύξηση

Ένας πληθυσμός εξελίσσεται έτσι, ώστε, το κάθε στοιχείο του να αναπαράγεται ακολουθώντας το εξής μοτίβο:

Το στοιχείο θα βλαστήσει ένα αντίγραφο του, μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, γεγονός που το καθιστά «αρχέτυπο». Ωστόσο, επενεργούν οι εξής παράμετροι:
Η ανάπτυξη (μεταβολή) του αντιγράφου συμβαίνει αναλογικά με τη μεταβολή του χρόνου.
Το αντίγραφο, με τη σειρά του, κατά τη σταδιακή εξέλιξή του, αναπαράγεται με πανομοιότυπο τρόπο και αποτελεί το αρχέτυπο για το δικό του αντίγραφο.

Ποιος είναι ο τύπος που υπολογίζει τη συνολική ποσότητα του πληθυσμού με την παρέλευση του χρόνου;

Για να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα, θα εξεταστεί τι ακριβώς συμβαίνει, μεμονωμένα, με κάθε στοιχείο του πληθυσμού.

Για διευκόλυνση στους υπολογισμούς ας θεωρηθεί ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του, με βάση την πρώτη προϋπόθεση.

Άραγε, μετά την παρέλευση αυτού του διαστήματος, δηλαδή μετά από χρόνο ίσο με $\displaystyle{1}$ , το αρχέτυπο θα έχει μεταβληθεί μόνο κατά το αντίγραφό του;

Η ερμηνεία του μοτίβου

Μη βιαστείτε να απαντήσετε καταφατικά στο παραπάνω ερώτημα.

Ίσως, πρώτιστα να πρέπει να ερμηνευτεί βαθύτερα το μοτίβο ανάπτυξης του πληθυσμού. Συγκεκριμένα, ας διερευνήσουμε τι θα συνέβαινε, διαδοχικά, μετά την παρέλευση, κάθε φορά, ενός ισόποσου διαστήματος $\Delta t$ του χρόνου. Ειδικότερα, έστω ότι έχει παρέλθει ένα κλάσμα της μονάδας του χρόνου,

$\Delta t=\frac{1}{\nu }.$

Να λάβετε υπόψη ότι το μοτίβο εξελίσσεται διαχρονικά, με συνεχή τρόπο, καθώς και ότι τα αντίγραφα «ανατοκίζουν» την αρχική ποσότητα του κάθε αρχέτυπου. Τρόπον τινά, το κάθε αντίγραφο δημιουργείται από το μηδέν, αναπτύσσεται και ολοκληρώνει την ανάπτυξή του στο ακέραιο σταδιακά και αναλογικά με την πάροδο του χρόνου. Αυτό θα γίνει και με το αντίγραφο του αντιγράφου κ.ο.κ.. Επομένως, όσο μικρότερο είναι αυτό το διάστημα $\Delta t$ , τόσο πιο πιστή θα είναι η ακόλουθη αναλυτική διαδικασία.

Στοιχειώδεις υπολογισμοί

$0\to \frac{1}{\nu }$ : Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά $\frac{1}{\nu }$ της ποσότητάς του, δηλαδή η συνολική του ποσότητα θα είναι πλέον: $1+\frac{1}{\nu }\centerdot 1=1+\frac{1}{\nu }$ στοιχεία.

$\frac{1}{\nu }\to \frac{2}{\nu }$ : Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά $\frac{1}{\nu }$ της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: $1+\frac{1}{\nu }$ στοιχεία. Ομοίως, θα αυξηθεί το μέρος του α΄ αντιγράφου του, οπότε η νέα ποσότητα του α΄ αντιγράφου του θα είναι πλέον:

$\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }=\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)$

στοιχεία.

Συνεπώς, η συνολική του ποσότητα, θα είναι,

$1+\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\centerdot \left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)={{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}}$

στοιχεία.

$\frac{2}{\nu }\to \frac{3}{\nu }$ : Το αρχέτυπο στοιχείο θα αυξηθεί κατά $\frac{1}{\nu }$ της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: $1+\frac{1}{\nu }$ στοιχεία. Ομοίως, θα αυξηθεί το α΄ αντίγραφό του, οπότε η νέα ποσότητα του α΄ αντιγράφου του θα είναι,

$\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }=\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)$

στοιχεία.

Επιπλέον, θα αυξηθεί το β΄ αντίγραφό του, επομένως η νέα ποσότητα του β΄ αντιγράφου του θα είναι,

$\begin{align*} \frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)&=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\left( {\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\centerdot \frac{1}{\nu }} \right)\\&=\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} \end{align*}$

στοιχεία.

Συνεπώς, η συνολική του ποσότητα, θα είναι,

$\begin{align*} 1+\frac{1}{\nu }+\frac{1}{\nu }\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)+\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} &=\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\centerdot \left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\\&+\frac{1}{\nu }{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}} \\&={{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}}\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)\\&={{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{3}} \end{align*}$

στοιχεία.

…

$\frac{{\nu -1}}{\nu }\to 1$ : Επαγωγικά, συνάγεται ότι η συνολική ποσότητα του στοιχείου, στο τέλος της μονάδας του χρόνου, θα είναι, ${{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}$ στοιχεία.

Είναι φανερό ότι η επιθυμία μας για μια απάντηση όσο το δυνατόν πλησιέστερη στην ακριβή ποσότητα του στοιχείου, με βάση το μοτίβο που περιεγράφηκε, καλύπτεται μόνο από την αντίστοιχη εξάντληση της δυνατότητας για «απεριόριστη αύξηση» του $\nu$ .

Ο αριθμός του Euler ως όριο

Ο αριθμός – απάντηση που αναζητούμε δεν είναι τίποτε άλλο από τον περίφημο αριθμό του Euler, ο οποίος προκύπτει από τον υπολογισμό της τιμής που προσεγγίζει η παράσταση ${{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}$ , καθώς το $\nu$ αυξάνεται απεριόριστα. Αυτή η «οριακή» τιμή της παράστασης ${{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}$ , είναι ο αριθμός του Euler, δηλαδή, συμβολικά,

$e=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}=2,718...$

(Ενδεικτικά, για $\nu =10000$ , ${{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}={{\left( {1+\frac{1}{{10000}}} \right)}^{{10000}}}\cong 2,718$ .)

Η εκθετική συνάρτηση

Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό, γίνεται φανερό ότι στο τέλος της δεύτερης μονάδας του χρόνου, η ποσότητα του στοιχείου, μετά από την εφαρμογή ορισμένων εύλογων ιδιοτήτων των ορίων, θα είναι,

$\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{{2\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{2}}={{e}^{2}}$

κ.ο.κ., μετά από $t$ χρόνο,

$\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}^{{t\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1+\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{t}}={{e}^{t}}.$

Ο τελευταίος τύπος ορίζει την εκθετική συνάρτηση ${y={e}^{t}}$ .

Ο νόμος της εκθετικής αύξησης

Αν τώρα η αρχική ποσότητα του πληθυσμού ήταν ${{Q}_{0}}$ , τότε, μετά από χρόνο $t$ , η ποσότητα $Q\left( t \right)$ , προφανώς, θα δίνεται από τον τύπο,

$Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{t}}.$

Στη γενικότερη περίπτωση, που ο χρόνος που απαιτείται για την πλήρη «αντιγραφή» του μεμονωμένου στοιχείου είναι $\mu$ , ισχύει,

$Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{\frac{t}{\mu }}}}.$

(Πράγματι, ανά τακτά χρονικά διαστήματα ίσα με $\mu$ , ο παραπάνω τύπος διαδοχικά δίνει,

$Q\left( \mu \right)={{Q}_{0}}e,\text{ }Q\left( {2\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{2}},\text{ }Q\left( {3\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{3}},\text{ }\ldots$

συμπεράσματα στα οποία καταλήξαμε κατά την προηγούμενη ανάλυση.)

Θέτοντας, $c=\frac{1}{\mu }$ , προκύπτει, τελικά, ότι $Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{ct}}}$ .

Ο τελευταίος τύπος είναι γνωστός ως «νόμος της εκθετικής μεταβολής». (Εδώ ειδικά, πρόκειται για το νόμο της εκθετικής αύξησης, αφού $c=\frac{1}{\mu }>0.$ )

Εκθετική μείωση

Αντίστροφα, ένας πληθυσμός εξελίσσεται έτσι, ώστε το κάθε στοιχείο του να αποσβένεται ακολουθώντας το εξής μοτίβο:

Το στοιχείο θα εξαντλούταν, πλήρως, μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα, γεγονός που το καθιστά «μειωτέο». Ωστόσο, επενεργούν οι εξής παράμετροι:
Η απόσβεση (μεταβολή) του στοιχείου συμβαίνει αναλογικά με τη μεταβολή του χρόνου.
Το εναπομείναν στοιχείο, με τη σειρά του, κατά τη σταδιακή απόσβεσή του, μειώνεται με πανομοιότυπο τρόπο και αποτελεί το μειωτέο για το δικό του εναπομείναν στοιχείο.

Παρόμοια ανακύπτει το ερώτημα:

Ποιος είναι ο τύπος που υπολογίζει τη συνολική ποσότητα του πληθυσμού με την παρέλευση του χρόνου;

Όπως προηγούμενα, θα εξεταστεί τι ακριβώς συντελείται, μεμονωμένα, σε κάθε στοιχείο του πληθυσμού.

Αντίστοιχα, θα θεωρηθεί ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να εξαντληθεί (πλήρως) με βάση την πρώτη προϋπόθεση.

Άραγε, μετά την παρέλευση αυτού του διαστήματος, δηλαδή μετά από χρόνο ίσο με $1$ , το μειωτέο θα έχει πλήρως εξαντληθεί;

Η ερμηνεία του μοτίβου

Κι εδώ δεν πρέπει να βιαστείτε να απαντήσετε καταφατικά. Αντίθετα, είναι καλύτερο να διερευνηθεί τι θα συνέβαινε, διαδοχικά, μετά την παρέλευση, κάθε φορά, ενός ισόποσου διαστήματος $\Delta t$ του χρόνου ίσου με ένα κλάσμα της μονάδας του χρόνου,

$\Delta t=\frac{1}{\nu }.$

Η συνεχής εξέλιξη της μείωσης η οποία επιδρά στο μειωτέο αντίστροφα σε σχέση με το προηγούμενο μοντέλο της αύξησης – τρόπον τινά το κάθε εναπομείναν ολοκληρώνει την πλήρη μείωσή του σταδιακά και αναλογικά με την πάροδο του χρόνου, γεγονός που συμβαίνει και με το εναπομείναν του εναπομείναντος κ.ο.κ. – θα μπορούσε να σταχυολογηθεί ως εξής.

Στοιχειώδεις υπολογισμοί

$0\to \frac{1}{\nu }$ : Το μειωτέο στοιχείο θα μειωθεί κατά $\frac{1}{\nu }$ της ποσότητάς του, δηλαδή η συνολική του ποσότητα θα είναι πλέον: $1-\frac{1}{\nu }\centerdot 1=1-\frac{1}{\nu }$ στοιχεία.

$\frac{1}{\nu }\to \frac{2}{\nu }$ : Το εναπομείναν στοιχείο θα μειωθεί κατά $\frac{1}{\nu }$ της ποσότητάς του, δηλαδή η νέα του ποσότητα θα είναι πλέον: $1-\frac{1}{\nu }-\frac{1}{\nu }\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)={{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{2}}$ στοιχεία.

…

$\frac{{\nu -1}}{\nu }\to 1$ : Επαγωγικά, συνάγεται ότι η συνολική ποσότητα του στοιχείου, στο τέλος της μονάδας του χρόνου, θα είναι, ${{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}$ στοιχεία.

Κι εδώ, είναι φανερό ότι η ανάγκη μας για μια απάντηση όσο το δυνατόν πλησιέστερη στην ακριβή ποσότητα του στοιχείου, με βάση το μοτίβο που περιεγράφηκε, καλύπτεται μόνο από την αντίστοιχη εύρεση του ορίου, $\displaystyle \underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}$ . Έχουμε,

$\displaystyle \begin{array}{l}\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{\nu }}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {\frac{\nu }{{\nu -1}}} \right)}}^{\nu }}} \right)}^{{-1}}}=\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {\frac{{\lambda +1}}{\lambda }} \right)}}^{{\lambda +1}}}} \right)}^{{-1}}}\\=\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {{{{\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)}}^{\lambda }}\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)} \right)}^{{-1}}}={{e}^{{-1}}}\underset{{\lambda \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1+\frac{1}{\lambda }} \right)}^{{-1}}}={{e}^{{-1}}}\end{array}$

Συνεχίζοντας με το ίδιο σκεπτικό, γίνεται φανερό ότι στο τέλος της δεύτερης μονάδας του χρόνου, η ποσότητα του στοιχείου, θα είναι,

$\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{{2\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{2}}={{e}^{{-2}}}$

κ.ο.κ., μετά από $t$ χρόνο,

$\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}^{{t\nu }}}=\underset{{\nu \to \infty }}{\mathop{{\lim }}}\,{{\left[ {{{{\left( {1-\frac{1}{\nu }} \right)}}^{\nu }}} \right]}^{t}}={{e}^{{-t}}}.$

Ο νόμος της εκθετικής μείωσης

Έτσι, αν η αρχική ποσότητα του πληθυσμού ήταν ${{Q}_{0}}$ , τότε, μετά από $t$ χρόνο, η ποσότητα $Q\left( t \right)$ , θα δίνεται από τον τύπο, $Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-t}}}$ .

Στη γενικότερη περίπτωση που ο χρόνος που απαιτείται για την πλήρη «εξάντληση» του μεμονωμένου στοιχείου είναι $\mu$ , τότε,

$Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-\frac{t}{\mu }}}}.$

(Πράγματι, ανά χρονικά διαστήματα ίσα με $\mu$ , ο παραπάνω τύπος διαδοχικά δίνει,

$Q\left( \mu \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-1}}},\text{ }Q\left( {2\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-2}}},\text{ }Q\left( {3\mu } \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{-3}}},\text{ }\ldots$

που είναι τα αναμενόμενα συμπεράσματα.)

Θέτοντας, $c=-\frac{1}{\mu }$ , προκύπτει πάλι ότι $Q\left( t \right)={{Q}_{0}}{{e}^{{ct}}}$ .

Ο τελευταίος τύπος είναι γνωστός ως «νόμος της εκθετικής απόσβεσης» ή «νόμος της εκθετικής μείωσης», διότι $c=-\frac{1}{\mu }<0.$

Μια διαφορετική προσέγγιση του μοντέλου

Ένας άλλος τρόπος για να μελετηθούν τα προηγούμενα εκθετικά φαινόμενα, για παράδειγμα κατά την περίπτωση της εκθετικής αύξησης, έγκειται στην ανάλυση της εξέλιξης του κάθε αντιγράφου σε δύο συνιστώσες:

ανάπτυξη του αντιγράφου του στοιχείου μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα (1^η συνιστώσα),
αναλογική αύξηση του κάθε παραγόμενου αρχέτυπου, με τη μεταβολή του χρόνου, ενώ ολοκληρώνεται η ανάπτυξή του, όπως και του κάθε αντιγράφου του (2^η συνιστώσα),

καθώς η διαδικασία επαναλαμβάνεται ομοιοτρόπως κατά τις δύο συνιστώσες σε οποιοδήποτε αντίγραφο.

Θεωρούμε ως στάδια της διαδικασίας τις διαδοχικές χρονικές στιγμές οι οποίες προκύπτουν ανά τακτά διαστήματα, ίσα με τη μονάδα του χρόνου, όπου κι εδώ λαμβάνεται το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του.

Συνεπώς, στο τέλος του πρώτου σταδίου, το στοιχείο θα έχει δημιουργήσει ένα αντίγραφο. Άρα, θα υπάρχουν,

$1+1=2$

στοιχεία. Άραγε, είναι τα μόνα;

Η ανάλυση των προϋποθέσεων

Με βάση την πρώτη προϋπόθεση, το νεόκοπο στοιχείο χρειάζεται το επόμενο στάδιο για να δημιουργήσει το δικό του (ακέραιο) αντίγραφο. Έτσι, με βάση τη δεύτερη προϋπόθεση του μοτίβου, στο τέλος του πρώτου σταδίου, ήδη, θα έχει βλαστήσει το μισό αντίγραφό του. Επομένως, θα υπάρχουν,

$1+1+\frac{1}{2}=2,5$

στοιχεία.

Σωστά μαντέψατε! Η διαδικασία συνεχίζεται με παρόμοιο τρόπο:

Το $\frac{1}{2}$ από το β΄ νεόκοπο στοιχείο, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, δηλαδή μετά από ένα στάδιο, θα έχει ολοκληρωθεί στο ακέραιο οπότε, στο τέλος του τρίτου σταδίου, θα αναπαράγει το δικό του (ακέραιο) αντίγραφο.

Συνεπώς, στο τέλος του πρώτου σταδίου το $\frac{1}{2}$ από το β΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει βλαστήσει το $\frac{1}{3}$ από το γ΄ νεόκοπο στοιχείο. Σωστά; Η μήπως βιαζόμαστε λιγάκι; Ας διερευνήσουμε πιο προσεχτικά τη δεύτερη προϋπόθεση του μοτίβου.

Ας υποθέσουμε, για μια στιγμή, ότι στο τέλος του πρώτου σταδίου, το $\frac{1}{2}$ από το β΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει βλαστήσει το $x$ μέρος από το γ΄ νεόκοπο στοιχείο. Τότε, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, από τη μια μεριά, θα έχει βλαστήσει το $2x$ μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου (1^η συνιστώσα) και από την άλλη το $x$ μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου το οποίο προέρχεται από την αύξηση κατά $\frac{1}{2}$ του $\frac{1}{2}$ του β΄ νεόκοπου στοιχείου (2^η συνιστώσα). Έτσι, στο τέλος του τρίτου σταδίου, το $3x$ μέρος του γ΄ νεόκοπου στοιχείου απλώς θα διπλασιαστεί, διότι η 2^η συνιστώσα προφανώς έχει μηδενική συνεισφορά, συνεπώς θα υπάρχει $6x$ μέρος του γ’ νεόκοπου στοιχείου το οποίο εξισώνεται, τελικά, με το $1$ , οπότε, $x=\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\centerdot \frac{1}{2}$ .

Επομένως, θα υπάρχουν,

$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{3\centerdot 2}}=2,666\ldots$

στοιχεία.

Παρόμοια, στο τέλος του τέταρτου σταδίου, το γ΄ νεόκοπο στοιχείο θα έχει αναπαράγει το δικό του ακέραιο αντίγραφο, άρα, αν υποτεθεί ότι στο τέλος του πρώτου σταδίου έχει βλαστήσει το $\displaystyle y$ μέρος από το δ΄ νεόκοπο στοιχείο, τότε, στο τέλος του δεύτερου σταδίου, από τη μια μεριά θα έχει βλαστήσει το $\displaystyle 2y$ μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου (1^η συνιστώσα) και από την άλλη, το $\displaystyle 2y$ μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου (2^η συνιστώσα) το οποίο προέρχεται από την αύξηση κατά $\frac{2}{6}$ του $\frac{1}{6}$ του γ’ νεόκοπου στοιχείου. Άρα, στο τέλος του τρίτου σταδίου, από τη μια μεριά, το $\displaystyle 4y$ μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου θα διπλασιαστεί (1^η συνιστώσα), καθώς από την άλλη πρέπει να συνυπολογιστεί η επιπλέον ποσότητα του $\displaystyle 4y$ μέρους του δ΄ νεόκοπου στοιχείου η οποία προκύπτει από την αύξηση κατά $\frac{3}{6}$ του $\frac{3}{6}$ του γ’ νεόκοπου στοιχείου (2^η συνιστώσα). Άρα, θα υπάρχει $\displaystyle 12y$ μέρος του δ΄ νεόκοπου στοιχείου το οποίο θα διπλασιαστεί στο τέλος του τέταρτου σταδίου. Επομένως, το $\displaystyle 24y$ εξισώνεται, τελικά, με το $1$ , οπότε,

$y=\frac{1}{{24}}=\frac{1}{4}\centerdot \frac{1}{3}\centerdot \frac{1}{2}.$

Συνεπώς, θα υπάρχουν,

$1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{3\centerdot 2}}+\frac{1}{{4\centerdot 3\centerdot 2}}=2,708333333\ldots $$

στοιχεία.

Το φράγμα

Έπειτα; Είναι πρόδηλο ότι η διαδικασία δεν περατώνεται και ο συνολικός αριθμός των στοιχείων, που προκύπτουν στο τέλος του πρώτου σταδίου, δίνεται από τον τύπο,

$1+\frac{1}{1}+\frac{1}{{2\centerdot 1}}+\frac{1}{{3\centerdot 2\centerdot 1}}+\frac{1}{{4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1}}+\frac{1}{{5\centerdot 4\centerdot 3\centerdot 2\centerdot 1}}+\ldots =e.$

Ο τελευταίος τύπος αναπαριστά με διαφορετικό τρόπο τον αριθμό του Euler και συνήθως, με τη βοήθεια του συμβόλου,

$\nu !=1\centerdot 2\centerdot 3\centerdot \ldots \centerdot \left( {\nu -1} \right)\centerdot \nu$

(ν παραγοντικό) γράφεται,

$\displaystyle \begin{array}{l}e=1+\frac{1}{{1!}}+\frac{1}{{2!}}+\frac{1}{{3!}}+\frac{1}{{4!}}+\ldots +\frac{1}{{\nu !}}+\ldots \\=\sum\limits_{{i=0}}^{{+\infty }}{{\frac{1}{{i!}}}}\end{array}.$

Η έννοια της παραγώγου ως ρυθμού μεταβολής

Κλείνοντας θα επιχειρηθεί να δοθεί μια περισσότερο τυπική ερμηνεία των παραπάνω εκθετικών μοντέλων.

Συμβολίζοντας με $\displaystyle \Delta Q\left( t \right)$ τη μεταβολή στη συνολική ποσότητα $\displaystyle Q\left( t \right)$ του πληθυσμού, στο χρόνο $\displaystyle t$ , που συντελείται κατά την αντίστοιχη μεταβολή $\displaystyle \Delta t$ του χρόνου $t$ , τότε, για «αρκετά μικρές» τέτοιες μεταβολές του χρόνου, θα ισχύει, είτε,

$\displaystyle \Delta Q\left( t \right)=Q\left( t \right)\centerdot \Delta t$

(εκθετική αύξηση)

είτε,

$\displaystyle \Delta Q\left( t \right)=-Q\left( t \right)\centerdot \Delta t$

(εκθετική μείωση),

θεωρώντας, φυσικά, ως μονάδα του χρόνου το διάστημα που θα απαιτούνταν ώστε το στοιχείο είτε να αναπαράγει το (ακέραιο) αντίγραφό του, είτε να εξαντληθεί (πλήρως), με βάση την πρώτη προϋπόθεση, αντίστοιχα.

Πράγματι εκεί οδηγείται κανείς με βάση τις προϋποθέσεις του μοντέλου:

Σε κάθε χρονική στιγμή, η «στοιχειώδης» μεταβολή (παραγωγή) είναι ανάλογη της αντίστοιχης «στοιχειώδους» χρονικής μεταβολής με συντελεστή αναλογίας την ποσότητα που υπήρχε τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η «στοιχειώδης», η αλλιώς, «απειροστή» χρονική μεταβολή είναι αυτή που επιτυγχάνει να «δαμάσει» το «συνεχές» του χρόνου, παρέχοντας διακριτά στιγμιότυπα κατά τη διαρκώς εξελισσόμενη πορεία του μοτίβου.

Με άλλα λόγια, σε κάθε χρονική στιγμή, ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας ισούται με την ίδια την ποσότητα. Η τελευταία συνθήκη παριστάνεται ως εξής,

$\displaystyle \frac{{\text{d}Q\left( t \right)}}{{\text{d}t}}=Q\left( t \right).$

Η συνάρτηση $\displaystyle \frac{{\text{d}Q\left( t \right)}}{{\text{d}t}}$ καλείται ρυθμός μεταβολής των τιμών της $\displaystyle Q$ ή αλλιώς παράγωγος της $\displaystyle Q$ , με τα σύμβολα $\displaystyle \text{d}Q\left( t \right)$ , και $\displaystyle \text{d}t$ , στο προηγούμενο ιδιότυπο πηλίκο, να τονίζουν τον «απειροστό», «στοιχειώδη» χαρακτήρα των διαφορών $\displaystyle \Delta Q\left( t \right)$ και $\displaystyle \Delta t$ .

Η αντίστροφη διαδικασία

Αν η οπτική μας γωνία στραφεί προς το χρόνο που χρειάζεται ένας πληθυσμός ο οποίος, για παράδειγμα, αυξάνεται, όπως επιτάσσει το παραπάνω μοτίβο εκθετικής αύξησης, ωσότου γίνει φορές $u$ μεγαλύτερος, τότε, προφανώς αναζητούμε τον εκθέτη $t$ έτσι, ώστε,

${{e}^{t}}=u.$

Ο εκθέτης αυτός, που συμβολίζεται με $\ln u$ , καλείται φυσικός λογάριθμος του $u$ .

Με τη βοήθεια του ακόλουθου παραδείγματος, θα διαπιστώσουμε ότι ένα τέτοιο χρονικό διάστημα, $t$ , θα μπορούσε να εκφραστεί ως ένα άθροισμα άπειρων όρων γινομένων, στη «συνεχή» περίπτωση, αξιοποιώντας το «στοιχειώδες» διάστημα $\displaystyle \Delta t$ του χρόνου.

Έστω λοιπόν ότι $u=2$ .

Αυτό που αναζητούμε, δηλαδή, είναι ο χρόνος που απαιτείται ωσότου διπλασιαστεί η αρχική ποσότητα ενός πληθυσμού του οποίου η ανάπτυξη εναπόκειται στο νόμο της εκθετικής αύξησης.

Θα επιστρατευτεί, αρχικά, το «απειροστό» διάστημα $\displaystyle \Delta t=\frac{1}{{100}}$ της μονάδας του χρόνου. (Υπενθυμίζεται ότι η μονάδα του χρόνου αποτελεί το χρονικό διάστημα διπλασιασμού του κάθε στοιχείου του πληθυσμού σύμφωνα με την 1^η προϋπόθεση.)

Υπολογισμοί

Μετά την παρέλευσή του, μπορεί να θεωρηθεί, στο πλαίσιο μιας ικανοποιητικής προσέγγισης του μοντέλου της εκθετικής αύξησης, ότι προκαλείται μια πρώτη αύξηση του πληθυσμού ο οποίος ισούται με,

$\displaystyle (1+\frac{1}{{100}})=\frac{{101}}{{100}},$

φορές της αρχικής του ποσότητας.

Έπειτα, υποθέτουμε ότι παρέρχεται το $\displaystyle \frac{1}{{101}}=\frac{1}{{1,01}}\Delta t$ του χρόνου, οπότε ο πληθυσμός αυξάνεται, για δεύτερη φορά, καθώς πλέον ισούται με,

$\displaystyle (1+\frac{1}{{101}})(1+\frac{1}{{100}})=\frac{{102}}{{101}}\centerdot \frac{{101}}{{100}}=\frac{{102}}{{100}},$

φορές της αρχικής του ποσότητας.

Η διαδικασία επαναλαμβάνεται παρόμοια, οπότε, στην εκατοστή πρώτη αύξηση του πληθυσμού, αυτός θα γίνει,

$\displaystyle (1+\frac{1}{{200}})(1+\frac{1}{{199}})\ldots (1+\frac{1}{{101}})(1+\frac{1}{{100}})=\frac{{201}}{{200}}\centerdot \frac{{200}}{{199}}\ldots \frac{{102}}{{101}}\centerdot \frac{{101}}{{100}}=\frac{{201}}{{100}}=2,01,$

φορές μεγαλύτερος, αριθμός πολύ κοντά στο επιζητούμενο αποτέλεσμα.

Από την άλλη μεριά, ο συνολικός χρόνος ( $t=\ln 2$ ), που έχει παρέλθει, θα βρεθεί συναθροίζοντας τα επιμέρους χρονικά διαστήματα, δηλαδή, όταν $\displaystyle \Delta t=\frac{1}{{100}}$ ,

$\begin{array}{l}\ln 2\simeq \Delta t+\frac{1}{{1,01}}\Delta t+\frac{1}{{1,02}}\Delta t+\frac{1}{{1,03}}\Delta t+\ldots +\frac{1}{{1,99}}\Delta t+\frac{1}{2}\Delta t\\=(1+\frac{1}{{1,01}}+\frac{1}{{1,02}}+\frac{1}{{1,03}}+\ldots +\frac{1}{{1,99}}+\frac{1}{2})\Delta t\cong 0,7\end{array}.$

Φυσικά, η προσέγγιση θα γίνεται ολοένα και καλύτερη καθώς το $\displaystyle \Delta t$ βαίνει μειούμενο πλησιάζοντας όλο και περισσότερο προς το $\displaystyle 0$ .

Ενδεικτικά, όταν $\displaystyle \Delta t=\frac{1}{{1000}}$ ,

$\begin{array}{l}\ln 2\simeq \Delta t+\frac{1}{{1,001}}\Delta t+\frac{1}{{1,002}}\Delta t+\frac{1}{{1,003}}\Delta t+\ldots +\frac{1}{{1,999}}\Delta t+\frac{1}{2}\Delta t\\=(1+\frac{1}{{1,001}}+\frac{1}{{1,002}}+\frac{1}{{1,003}}+\ldots +\frac{1}{{1,999}}+\frac{1}{2})\Delta t\cong 0,6939\end{array}$

Η έννοια του ολοκληρώματος

Ιδανικά, το βέλτιστο θα μπορούσε να «ληφθεί» ως η οριακή τιμή σε μια «συνεχή επέκταση» για το παραπάνω άθροισμα γινομένων.

Πρόκειται για το “ολοκλήρωμα” από το $\displaystyle 1$ ως το $\displaystyle 2$ , για τη συνάρτηση $\displaystyle \frac{1}{t}$ , το οποίο συμβολίζεται με $\displaystyle \int_{1}^{2}{{\frac{1}{t}\text{dt}}}$ .

(Φανταστείτε το σύμβολο $\displaystyle \int{{}}$ της ολοκλήρωσης ως μια επιμήκυνση του s, δηλαδή του πρώτου γράμματος της λέξης sum, που σημαίνει στα ελληνικά άθροισμα, ενώ εκτός από τα όρια ολοκλήρωσης, δηλαδή εκτός από τους αριθμούς $\displaystyle 1$ και $\displaystyle 2$ , κάτω και πάνω από το σύμβολο $\displaystyle \int{{}}$ , αντίστοιχα, αναγράφεται, στη συνέχεια και η παράσταση $\displaystyle \frac{1}{t}\text{dt}$ που εκφράζει τη γενική μορφή των γινομένων – όρων του αθροίσματος, με το $\displaystyle \text{dt}$ να δίνει έμφαση στη «στοιχειώδη» φύση του $\displaystyle \Delta t$ .)

Άρα, $\displaystyle \ln 2=\int_{1}^{2}{{\frac{1}{t}\text{dt}}}$ και γενικότερα, $\displaystyle \ln u=\int_{1}^{u}{{\frac{1}{t}\text{dt}}}$ .

Ο τελευταίος πειρασμός …

Θα αποτελούσε σίγουρα πρόκληση η απόπειρα να ερμηνευτεί, διαισθητικά, ο ρυθμός μεταβολής της λογαριθμικής συνάρτησης $\displaystyle \ln u$ αφορμώντας από το παραπάνω μοντέλο π.χ. της εκθετικής αύξησης. Εδώ, βέβαια, η ανεξάρτητη μεταβλητή $\displaystyle u$ παριστάνει το συντελεστή με τον οποίο πολλαπλασιάζεται η αρχική ποσότητα του πληθυσμού μετά από χρόνο $\displaystyle t=\ln u$ .

Αφού σε κάθε χρονική στιγμή, $\displaystyle t$ , η στοιχειώδης μεταβολή της ποσότητας είναι ανάλογη της στοιχειώδους μεταβολής του χρόνου, με συντελεστή αναλογίας την ποσότητα του πληθυσμού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή, έπεται, αντίστροφα, ότι η στοιχειώδης μεταβολή του χρόνου είναι ανάλογη της στοιχειώδους μεταβολής της ποσότητας, με συντελεστή αναλογίας το αντίστροφο της ποσότητας του πληθυσμού τη συγκεκριμένη χρονική στιγμή.

Σε μια περισσότερο τυπική προσέγγιση,

$\displaystyle \Delta Q\left( t \right)=Q\left( t \right)\centerdot \Delta t$