Επώνυμα Προβλήματα: Πρόταση Καραθεοδωρή (Δόθηκε για πρώτη φορά στην 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα)

Στο εσωτερικό τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$, θεωρούμε τυχαίο σημείο ${\rm O}$. Αν ${{\rm E}}_{{\rm A}}$, ${{\rm E}}_{{\rm B}}$,, ${{\rm E}}_{\Gamma }$ είναι τα εμβαδά των τριγώνων ${\rm B}{\rm O}\Gamma ,\Gamma {\rm O}{\rm B}$, και ${\rm A}{\rm O}{\rm B}$ αντίστοιχα, να δειχτεί ότι: 

 ${{\rm E}}_{{\rm A}}.\overrightarrow{{\rm O}{\rm A}}+{{\rm E}}_{{\rm B}}.\overrightarrow{{\rm O}{\rm B}}+{{\rm E}}_{\Gamma }.\overrightarrow{{\rm O}\Gamma }=\overrightarrow{0}$.

Από το περιοδικό «Απολλώνιος», του παραρτήματος της ΕΜΕ Ημαθίας, τ. 2.