Τετάρτη 9 Νοεμβρίου 2022

Ένα ακόμη

Μόνο δύο πολύγωνα μπορούν να έχουν μια μικρότερη εσωτερική γωνία $120^ο$ με κάθε διαδοχική γωνία κατά $5^ο$ μεγαλύτερη από την προηγούμενη της. 
Το ένα είναι το 9 - γωνο, όπως φαίνεται πιο πάνω. 
Ποιο είναι το άλλο πολύγωνο;

14 σχόλια:

  1. Όταν οι εσωτερικές γωνίες ενός πολυγώνου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 120° και διαφορά 5°, οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες σχηματίζουν επίσης αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 180-120=60° και διαφορά -5°. Αλλά οι εξωτερικές γωνίες κάθε πολυγώνου έχουν άθροισμα 360°, οπότε αν το πολύγωνο που αναζητούμε έχει ν γωνίες, εύκολα καταστρώνουμε την εξίσωση αθροίσματος ν όρων αριθμ. προόδου:
    ν/2*(2*60-(ν-1)*5)=360 =>
    5ν^2-125ν+720=0
    Η εξίσωση έχει 2 θετικές ακέραιες ρίζες:
    ν=9 (το ξέραμε ήδη) και ν=16, επομένως το δεύτερο πολύγωνο είναι 16-γωνο.
    Το 16-γωνο θα είναι αναγκαστικά μη κυρτό, αφού τρείς εσωτερικές γωνίες του θα ξεπεράσουν τις 180°, ενώ μία θα είναι ακριβώς 180° και οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες αρνητικές και μηδενική (γεγονός που κατά μία έννοια κάνει το 16-γωνο 15-γωνο, αλλά αν δεν τη μετρούσαμε κι αυτή θα χαλούσε η αριθμητική πρόοδος).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση κι εγώ έτσι το προσεγγίζω, αλλά θέλω να σταθώ στην μακροσκελή εξήγησή σου, που είναι μαγική!!😀😉

      Διαγραφή
    2. Ευχαριστώ Μιχάλη, χαίρομαι που σου άρεσε. Θες πάντως μερικά ιδιαίτερα από τον Κάρλο για να εμπεδώσεις την έννοια 'μακροσκελής'.😄

      Διαγραφή
    3. Ο Κάρλο είναι ο master της μακροσκελούς λύσης!!!😄Μία ερώτηση θέλω να σου κάνω: Πώς γράφεις το σύμβολο των μοιρών χωρίς Latex;; (θέλω να το γράφω κι εγώ έτσι😉)

      Διαγραφή
    4. Γράφω συνήθως από smartphone. Όταν χρειάζεσαι να γράψεις ° πιέζεις στο πληκτρολόγιο της οθόνης το κουμπάκι με τα σύμβολα και πας στη σελίδα 2. Το βλέπεις μπροστά σου και το πατάς.

      Διαγραφή
    5. Δεν κατάλαβα καλά. Ποιο είναι το κουμπάκι με τα σύμβολα (πως λέγεται;). Γίνεται μόνο σε smartphone ή και στον υπολογιστή; Η σελίδα 2 είναι ίδια με τη σελίδα 1; τι είναι η σελίδα 2;

      Διαγραφή
    6. Βάλε στη Google 'μοίρες στο λάπτοπ ή στο κινητό' και θα σε πάει στη Microsoft support. Θα τα βρεις όλα. Παίζει ρόλο και ποιος είναι ο κατασκευαστής..

      Διαγραφή
    7. Ευχαριστώ φίλε Θανάση, να είσαι καλά!!
      Άσχετο: Τι ομάδα είσαι;😉

      Διαγραφή
    8. Τελευταία με τους συντσξιούχους μαθηματικούς, παλιότερα Ηρακλής😅.

      Διαγραφή
    9. Πάντως εγώ δεν είμαι συνταξιούχος, έχω επιτήρηση στον Θαλή σήμερα.
      Φαντάζομαι ξέρεις ότι σήμερα θα διεξαχθεί ο Θαλής.

      Διαγραφή
    10. Σα να λέμε εσύ με το Θαλή κι εγώ με τους αειθαλείς.. 🎃

      Διαγραφή
    11. Δεν εννοούσα κάτι κακό Θανάση😉(φαντάζομαι για πλάκα το είπες)

      Διαγραφή
  2. Oι γωνίες ΑΠ με α1=120, ω=-5 και Σν=(240+5(ν-1))ν/2=90(2ν-4), ... ,ν^2-25ν+144=0, ν=9 ή 16.

    ΑπάντησηΔιαγραφή