Μόνο δύο πολύγωνα μπορούν να έχουν μια μικρότερη εσωτερική γωνία $120^ο$ με κάθε διαδοχική γωνία κατά $5^ο$ μεγαλύτερη από την προηγούμενη της.
Ποιο είναι το άλλο πολύγωνο;
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Όταν οι εσωτερικές γωνίες ενός πολυγώνου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 120° και διαφορά 5°, οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες σχηματίζουν επίσης αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 180-120=60° και διαφορά -5°. Αλλά οι εξωτερικές γωνίες κάθε πολυγώνου έχουν άθροισμα 360°, οπότε αν το πολύγωνο που αναζητούμε έχει ν γωνίες, εύκολα καταστρώνουμε την εξίσωση αθροίσματος ν όρων αριθμ. προόδου:
ΑπάντησηΔιαγραφήν/2*(2*60-(ν-1)*5)=360 =>
5ν^2-125ν+720=0
Η εξίσωση έχει 2 θετικές ακέραιες ρίζες:
ν=9 (το ξέραμε ήδη) και ν=16, επομένως το δεύτερο πολύγωνο είναι 16-γωνο.
Το 16-γωνο θα είναι αναγκαστικά μη κυρτό, αφού τρείς εσωτερικές γωνίες του θα ξεπεράσουν τις 180°, ενώ μία θα είναι ακριβώς 180° και οι αντίστοιχες εξωτερικές γωνίες αρνητικές και μηδενική (γεγονός που κατά μία έννοια κάνει το 16-γωνο 15-γωνο, αλλά αν δεν τη μετρούσαμε κι αυτή θα χαλούσε η αριθμητική πρόοδος).
Θανάση κι εγώ έτσι το προσεγγίζω, αλλά θέλω να σταθώ στην μακροσκελή εξήγησή σου, που είναι μαγική!!😀😉
ΔιαγραφήΕυχαριστώ Μιχάλη, χαίρομαι που σου άρεσε. Θες πάντως μερικά ιδιαίτερα από τον Κάρλο για να εμπεδώσεις την έννοια 'μακροσκελής'.😄
ΔιαγραφήΟ Κάρλο είναι ο master της μακροσκελούς λύσης!!!😄Μία ερώτηση θέλω να σου κάνω: Πώς γράφεις το σύμβολο των μοιρών χωρίς Latex;; (θέλω να το γράφω κι εγώ έτσι😉)
ΔιαγραφήΓράφω συνήθως από smartphone. Όταν χρειάζεσαι να γράψεις ° πιέζεις στο πληκτρολόγιο της οθόνης το κουμπάκι με τα σύμβολα και πας στη σελίδα 2. Το βλέπεις μπροστά σου και το πατάς.
ΔιαγραφήΔεν κατάλαβα καλά. Ποιο είναι το κουμπάκι με τα σύμβολα (πως λέγεται;). Γίνεται μόνο σε smartphone ή και στον υπολογιστή; Η σελίδα 2 είναι ίδια με τη σελίδα 1; τι είναι η σελίδα 2;
ΔιαγραφήΒάλε στη Google 'μοίρες στο λάπτοπ ή στο κινητό' και θα σε πάει στη Microsoft support. Θα τα βρεις όλα. Παίζει ρόλο και ποιος είναι ο κατασκευαστής..
ΔιαγραφήΕυχαριστώ φίλε Θανάση, να είσαι καλά!!
ΔιαγραφήΆσχετο: Τι ομάδα είσαι;😉
Τελευταία με τους συντσξιούχους μαθηματικούς, παλιότερα Ηρακλής😅.
ΔιαγραφήΠάντως εγώ δεν είμαι συνταξιούχος, έχω επιτήρηση στον Θαλή σήμερα.
ΔιαγραφήΦαντάζομαι ξέρεις ότι σήμερα θα διεξαχθεί ο Θαλής.
Σα να λέμε εσύ με το Θαλή κι εγώ με τους αειθαλείς.. 🎃
ΔιαγραφήΔεν εννοούσα κάτι κακό Θανάση😉(φαντάζομαι για πλάκα το είπες)
ΔιαγραφήOι γωνίες ΑΠ με α1=120, ω=-5 και Σν=(240+5(ν-1))ν/2=90(2ν-4), ... ,ν^2-25ν+144=0, ν=9 ή 16.
ΑπάντησηΔιαγραφήω=5
Διαγραφή