100 καπέλα

Στο τέλος ενός πάρτι μασκέ για μαθηματικούς, οι $100$ μαθηματικοί έφυγαν από το πάρτι ένας-ένας, και ο καθένας σταμάτησε για να πάρει το καπέλο του από την κρεμάστρα στην έξοδο. 

Δυστυχώς, ο πρώτος μαθηματικός που έφυγε ήταν απρόσεκτος και δεν πήρε το δικό του καπέλο. 

Κάθε επόμενος μαθηματικός φεύγοντας πήρε το δικό του καπέλο, αν ήταν διαθέσιμο, ή έλαβε ένα καπέλο τυχαία.

Ποια είναι η πιθανότητα ο $100$ος μαθηματικός φεύγοντας από το πάρτι να πάρει το δικό του καπέλο;