Όλες οι κορυφές μιας πολυγωνικής ευθείας $ABCDE$ βρίσκονται σε μια περιφέρεια (δείτε το σχήμα) και οι γωνίες στις κορυφές $B, C$ και $D$ είναι $45°$ η καθεμία.
Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του μπλε τμήματος του κύκλου είναι ίσο με το εμβαδόν του κίτρινου μέρους.
Περιοδικό Quantum
Περίγραμμα:
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ ΑΕ είναι διάμετρος του κύκλου. Αν Ο το κέντρο και r η ακτίνα του, οι γωνίες BOD, COE, AOC είναι όλες ορθές, η γ. AOB παραπληρωματική τής γ. COD και η γ.BOC παραπληρωματική τής γDOE. Λόγω της ισότητας των ημιτόνων παραπληρωματικών γωνιών, προκύπτει ότι (AOB)=(COD)=r^2*ημ(γ.AOB)/2 και (BOC)=(DOE)=r^2*ημ.(γ.DOE)/2. Αν λοιπόν φανταστούμε στη θέση των αμιγώς κίτρινων τριγώνων COD και BOC τα αντίστοιχα ισεμβαδικά τους τρίγωνα AOB και DOE, τότε γίνεται σαφές ότι η κίτρινη επιφάνεια καλύπτει συνολικά επιφάνεια ισοδύναμη της επιφάνειας ABDEA, που είναι ο μισός δίσκος, ό.έ.δ.