Γεωμετρική πρόοδος σε τετράγωνο

Α) Σημείο $P$ βρίσκεται στο εσωτερικό τετραγώνου $ABCD$. Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων $PA,PB,PC$, αν είναι γνωστό ότι με τη σειρά που δίνονται αποτελούν διαδοχικούς 

όρους γεωμετρικής προόδου με λόγο

Β) Εξετάστε αν η παραπάνω συνθήκη ορίζει μονοσήμαντα το τετράγωνο.

Λύση (του Νίκου Φραγκάκη)

Θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το , άξονα τετμημένων την και μοναδιαίο διάνυσμα σ αυτόν το .

Οι Απολλώνιου ίσοι κύκλοι έχουν κέντρα

   

ακτίνα δε . 

Το σημείο από την απλή λύση του συστήματος των εξισώσεων τους 

Είναι

 

και με μήκος πλευράς τετραγώνου ,

  .

Πηγή