Κλάσμα με «άρωμα Fibonacci»

Οι αριθμοί

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …$ 

είναι οι όροι της ακολουθίας που είναι γνωστή με το όνομα «ακολουθία Fibonacci».

Ο κάθε όρος της ακολουθίας, από τον τρίτο και μετά, είναι ίσος με το άθροισμα των δυο προηγούμενων:

$1=0+1$, $2=1+1$, $3=2+1$, $5=3+2$, κ.ο.κ.

Δηλαδή η ακολουθία Fibonacci ορίζεται από την αναδρομική σχέση: 

$F_0=0$, $F_1=F_2=1$ και $F_{n+1}$= $F_n + F_{n-1}$ για κάθε $n≥2$

Δοκιμάστε τώρα να υπολογίσετε τα δεκαδικά ψηφία του κλάσματος:

$1/999 999 999 999 999 999 999 998 999 999 999 999 999 999 999 999$

και θα διαπιστώσετε ότι αποπνέει ένα «άρωμα Fibonacci»:

… περιέχει δηλαδή τους όρους της ακολουθίας Fibonacci! Για τον υπολογισμό μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ιστότοπο wolframalpha.

Το γιατί συμβαίνει αυτό μας το εξηγεί το βίντεο που ακολουθεί:

Πηγή