3 - Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Έστω συνάρτηση $f:[0,1]\to R$ δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει 

$[f^{\prime }(x){]}^2+f(x)f^{″}(x)\ge 1$. 

Να αποδειχθεί ότι 

${\int }_0^1{f}^2(x)dx\ge f^2(\frac{1}{2})+\frac{1}{12}$.

Μarcel Chirită, Romania