O Άγγελος έχει μια σακούλα που περιέχει 50 κόκκινες μπάλες, 50 μπλε μπάλες, και 30 κίτρινες μπάλες. Παίρνει από την σακούλα 65 μπάλες στην τύχη (χωρίς αντικατάσταση). Αν από τις μπάλες που έχει βγάλει οι κόκκινες μπάλες είναι κατά 5 περισσότερες από τις μπλε μπάλες, ποια είναι η πιθανότητα η επόμενη μπάλα που θα βγάλει να είναι κόκκινη;
Harvard-MIT Math Tournament 2015
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αφού η διαφορά κόκκινων με μπλε στις μπάλες που τραβήχτηκαν είναι 5, δηλαδή μονός, τότε και το άθροισμά τους είναι μονός και αφού ο συνολικός αριθμός μπαλών που τραβήχτηκαν είναι 65, δηλαδή μονός, ο αριθμός των κίτρινων μπαλών που τραβήχτηκαν είναι ζυγός.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν πάρουμε λοιπόν τα σενάρια να τραβήχτηκαν 0 ή 2 ή 4 ή... ή 30 κίτρινες μπάλες, θα πρέπει να τραβήχτηκαν αντιστοίχως κόκκινες 35 ή 34 ή 33 ή ... 20 μπάλες και μπλε 30 ή 29 ή 28 ή ....15 μπάλες.
Οι μπάλες που απομένουν στο σάκο είναι αντιστοίχως:
κίτρινες: 30, 28, 26, ... , 0
κόκκινες: 15, 16, 17, ... , 30
μπλε: 20, 21, 22, ...., 35
Το κλάσμα των κόκκινων που απομένουν στο σάκο επί των συνολικών αυξάνεται με αριθμητική πρόοδο από 15/65 μέχρι 30/65.
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι επομένως η μέση τιμή (15+30)/(2*65) = 45/130 = 9/26.
Μία μικρή αλλά απαραίτητη προσθήκη, για την πληρότητα της λύσης:
ΔιαγραφήΤα 16 πιο πάνω ενδεχόμενα κατανομής των χρωμάτων μεταξύ των 65 μπαλών που τραβήχτηκαν δεν είναι υποχρεωτικά ισοπίθανα. Είναι όμως ισοπίθανα ανά δύο, συγκεκριμένα αυτών που το άθροισμα των κίτρινων μπαλών τους είναι 30 (0 με 30, 2 με 28, ... , 14 με 16). Κάθε τέτοιο ζευγάρι συμμετρικών κατανομών δίνει μέση τιμή 9/26, επομένως και η σταθμισμένη μέση τιμή, δηλαδή η ζητούμενη πιθανότητα είναι 9/26, ανεξαρτήτως πιθανότητας εμφάνισης κάθε κατανομής.
Χθες βράδυ είδα στην τηλεόραση μια εκπομπή του Βελόπουλου και έλεγε μεταξύ άλλων για τις προφητείες του Παϊσίου. Σε κάποια στιγμή αναφέρει ότι αυτή η κυβέρνηση που έχουμε τώρα θα πέσει σύντομα, θα έρθει μία οικουμενική η οποία θα πέσει και αυτή τάχιστα και θα ακολουθήσει πείνα και μια ένοπλη σύρραξη με την Τουρκία, όμως σημειώνει ότι μετά θα έρθει η αναγέννηση του τόπου. Έχω 2 απορίες. Η πρώτη είναι αν όντως αυτός ο γέροντας είχε την ικανότητα να προβλέπει μελλοντικά γεγονότα. Η δεύτερη είναι αν πραγματικά η χώρα οδηγείται στις τραγικές καταστάσεις που ανέφερα παραπάνω.
ΑπάντησηΔιαγραφή