Έστω ένα απλό πολύγωνο $P_{ \nu } $ με $\nu$ πλευρές,αριθμημένες από $1$ έως $\nu$, στο επίπεδο.
Έστω $\vec{ v_{k} }$ διάνυσμα κάθετο στην πλευρά $k$ με φορά προς τα έξω του εσωτερικού του πολυγώνου πάνω στην πλευρά $k$, και μέτρο ίσο με το μήκος της πλευράς $k$. Να υπολογισθεί το
$ \sum_{k=1}^{ \nu }{ \vec{ v_{k} }}$.
Το διανυσματικό άθροισμα των πλευρών ενός κλειστού πολυγώνου (ή οποιουδήποτε κλειστού σχήματος), στο οποίο έχει οριστεί ενιαία φορά, είναι 0.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ αναλογία των μέτρων των κάθετων διανυσμάτων με τα μήκη των αντίστοιχων πλευρών του πολυγώνου, μας επιτρέπει με κατάλληλη παράλληλη μετατόπιση των διανυσμάτων αυτών να κατασκευάσουμε ένα πολύγωνο όμοιο με το αρχικό και επίσης ενιαία φορά των πλευρών (αυτό εξασφαλίζεται από το ότι όλα έχουν κατεύθυνση προς την έξω μεριά του πολυγώνου).
Συνεπώς το διανυσματικό άθροισμα των κάθετων διανυσμάτων θα είναι επίσης 0.
Aυτό είναι Θανάση! Eξαιρετικά! Kαι μάλιστα γενίκευσες σωστά και ωραία το θέμα,μιλώντας για "αναλογίες" και όμοιο με το αρχικό πολύγωνο για το δυναμοπολύγωνο των ανυσμάτων. Στην περίπτωσή μας προκύπτει ίδιο πολύγωνο.
ΔιαγραφήΚάθε πλευρά $k$ του πολυγώνου,νοούμενη ως διάνυσμα , ας σκεφτούμε πως στρέφεται αντιωρολογικά κατά π/2. Ταυτίζεται προφανώς με το v(k). Άρα όλα τα vk κατασκευάζουν ένα ίδιο πολύγωνο με το αρχικό και η αρχή του v1 ταυτίζεται με το τέλος του v(n),οπότε Σ=0.
(για διαισθητική προσέγγιση, μπορεί κάποιος να σκεφτεί το ανάλογο σε ένα κανονικό κυρτό πολύγωνο, π.χ ένα τετράγωνο ή ένα ισόπλευρο τρίγωνο και να διαπιστώσει εύκολα πως ισχύει. Στο τετράγωνο ας πούμε ,τα 4 κάθετα ανύσματα αντιστοιχούν το καθένα (ως διεύθυνση και μέτρο) στην επόμενη πλευρά του τετραγώνου,οπότε συντιθέμενα δημιουργούν απλώς το ίδιο τετράγωνο μετά από στροφή π/2.
Το "Στην περίπτωσή μας προκύπτει ίδιο πολύγωνο" που έγραψα αποπάνω ,να αναγνωστεί ως "όμοιο και ίσο με το αρχικό κατά μέγεθος" ,αλλά βεβαίως όχι κατά θέση
ΔιαγραφήΣυμφωνώ με την ανάλυση και το αποτέλεσμα του Θανάση και απλά προσθέτω και μία άλλη προσέγγιση:
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ περιστροφή κατά 90 μοίρες ενός διανύσματος στο μιγαδικό επίπεδο, ισοδυναμεί με πολλαπλασιασμό του διανύσματος επί i (ή -i, ανάλογα με τη φορά περιστροφής).
Αν Ακ τα διανύσματα που παριστούν τις πλευρές του πολυγώνου, τότε, εφ'όσον το πολύγωνο είναι κλειστό, ισχύει ότι Σ$\vec{Ak} $=0.
Οπότε Σ$\vec{uk} $=Σ$\vec{Ak} $*i=ι*Σ$\vec{Ak} $=0