▪ Marcus du Sautoy - Η μουσική των πρώτων αριθμών

Περίληψη

Στο σχολείο μάθαμε ότι πρώτος αριθμός είναι εκείνος που διαιρείται ακριβώς μόνο με τη μονάδα και με τον ίδιο του τον εαυτό. Πόσοι όμως από εμάς γνωρίζουν ότι οι πρώτοι αριθμοί, ταυτίζονται με το πιο βασανιστικό μυστήριο που προσπαθεί να εξιχνιάσει η ανθρώπινη γνώση;

330 π.Χ.: ο Ευκλείδης, στα Στοιχεία του, αποδεικνύει ότι οι πρώτοι αριθμοί είναι άπειροι, ρίχνοντας το γάντι στους μαθηματικούς των επόμενων αιώνων. Υπάρχει κάποια πρότυπη μορφή (κάποιο καλούπι) που παράγει πρώτους; Αν γνωρίζουμε κάποιον πρώτο αριθμό, ποιος είναι ο επόμενος;

1859, Ακαδημία του Βερολίνου: ο Γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρντ Ρίμαν, παρουσιάζει μια πραγματεία που αφορά το μυστήριο των πρώτων αριθμών. Η Υπόθεσή του υπόσχεται τη λύση του γρίφου. Όμως, λίγο αργότερα, ο Ρίμαν πεθαίνει. Την επομένη του θανάτου του, η σπιτονοικοκυρά του (που σίγουρα δεν άντεχε άλλο την υποχόνδρια ιδιοφυΐα του μεγάλου μαθηματικού) καθαρίζει το σπίτι, και παραδίδει στη φωτιά όλα τα προσωπικά χαρτιά του με εκείνες τις αλλόκοτες σημειώσεις.

2005: η Υπόθεση του Ρίμαν αποτελεί ακόμη την υπ’ αριθμόν ένα μονομανία των κορυφαίων μαθηματικών. Θεωρείται πολύ πιο δύσκολη και αναμφίβολα πιο σημαντική από το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. Η απόδειξή της συνδέεται με την ασφάλεια στις τραπεζικές συναλλαγές και στο ηλεκτρονικό εμπόριο. Ενδέχεται να επιφέρει κοσμογονικές συνέπειες στην εξέλιξη της επιστήμης, καθώς οι πρώτοι αριθμοί βρίσκονται στο σημείο συνάντησης της Κβαντομηχανικής και της Θεωρίας του Χάους.

Πώς μπορούμε να προβλέψουμε πότε θα προκύψει ο επόμενος πρώτος αριθμός; Άραγε, υπάρχει κάποιος μαθηματικός τύπος που παράγει πρώτους αριθμούς; Πού βρίσκεται η πρότυπη μορφή (το καλούπι) που γεννά αυτούς τους άπιαστους αριθμούς; Από την εποχή των αρχαίων Ελλήνων μέχρι τις ημέρες μας, οι μαθηματικοί προσπαθούν να δώσουν απαντήσεις σ’ αυτά τα ερωτήματα, επιδιώκοντας να εξιχνιάσουν αυτό τον αρχετυπικό γρίφο.

Η επίλυση στο πρόβλημα των πρώτων αριθμών (όταν επιτευχθεί) θα σημάνει πραγματική επανάσταση για τον κόσμο των μαθηματικών. Η εξιχνίαση του μυστηρίου θα έχει κοσμογονικές επιπτώσεις στην επιστήμη, και όχι μόνο.

Πριν από σχεδόν 150 χρόνια, στην Ακαδημία του Βερολίνου, ο γερμανός μαθηματικός Μπέρνχαρντ Ρίμαν παρουσίασε μια πραγματεία (ένα άρθρο) σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Στον πυρήνα της παρουσίασής του βρισκόταν μια ιδέα -μια υπόθεση- που φαινόταν να αποκαλύπτει ότι υπήρχε μια κρυφή, μαγευτική αρμονία ανάμεσα στους πρώτους και στους υπόλοιπους αριθμούς. Ο Ρίμαν υποστήριζε ακράδαντα ότι η υπόθεσή του ήταν πέρα για πέρα αληθινή. Όμως, λίγο αργότερα, ο Ρίμαν πέθανε. Αμέσως μετά το θάνατό του, η σπιτονοικοκυρά του έκαψε όλα τα προσωπικά χαρτιά του και μέχρι σήμερα, κανείς δεν έμαθε αν ο Ρίμαν είχε όντως ανακαλύψει την απόδειξη. Έκτοτε, λαμπροί μαθηματικοί συναγωνίζονται για την επίλυση του «πλέον καταζητούμενου προβλήματος», ενώ χρηματικό βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων έχει αθλοθετηθεί για τον νικητή.

Στις μέρες μας η Υπόθεση του Ρίμαν έχει γίνει η υπ’ αριθμόν ένα μονομανία για πολλούς κορυφαίους μαθηματικούς. Θεωρείται πολύ πιο δύσκολη και αναμφίβολα πιο σημαντική από το «Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά» και αν αποδεικνυόταν θα μπορούσε να αποτελέσει τον περιοδικό πίνακα για τη χαρτογράφηση ολόκληρου του μαθηματικού σύμπαντος. Ωστόσο, οι συνέπειες της Υπόθεσης Ρίμαν πάνε πολύ πέρα από τα Μαθηματικά. Έχουν σημαντικές επιπτώσεις στην οικονομική δραστηριότητα, αφού οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν τη βάση για την ασφάλεια στις τραπεζικές συναλλαγές και το ηλεκτρονικό εμπόριο. Η Υπόθεση Ρίμαν είναι ακόμα το σημείο συνάντησης πολλών επιστημονικών τομέων με διακλαδώσεις στην Κβαντομηχανική, τη Θεωρία του Χάους και την Πληροφορική.

Σ’ αυτό το αξιοσημείωτο βιβλίο, ο Μάρκους ντι Σοτόι παρουσιάζει την ιστορία εκκεντρικών πλην όμως λαμπρών ανθρώπων και της δίψας τους για γνώση που οδήγησε άλλους στην τρέλα και άλλους στη δόξα. Διαφωτιστική, έγκυρη και πάνω απ’ όλα συναρπαστική, η Μουσική των πρώτων αριθμών αφηγείται την εκπληκτική περιπέτεια της αναζήτησης του ιερού δισκοπότηρου των Μαθηματικών και της εκστρατείας για την ανακάλυψή του.
Επιλεγμένα Αποσπάσματα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Παρίσι, 1900… Ένα ζεστό και υγρό πρωινό του Αυγούστου, στην κατάμεστη αίθουσα διαλέξεων της Σορβόνης μιλούσε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert) από το Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Απευθυνόταν στο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών. Έχοντας ήδη κερδίσει την αναγνώριση ως ένας από τους κορυφαίους μαθηματικούς της εποχής του, ο Χίλμπερτ είχε ετοιμάσει μια τολμηρή ομιλία. Θα αναφερόταν περισσότερο σε όσα παρέμεναν άγνωστα, παρά σ’ εκείνα που είχαν ήδη αποδειχτεί. Αυτό ερχόταν σε αντίθεση προς τα παγκοσμίως ισχύοντα σχετικά με τις ομιλίες και η νευρικότητα του Χίλμπερτ την ώρα που άρχιζε να αναπτύσσει το όραμά του σχετικά με το μέλλον των Μαθηματικών, ήταν φανερή. «Ποιος δεν θα ήθελε να σηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο κρύβεται το μέλλον· να ρίξει μια κλεφτή ματιά στις μελλοντικές ανακαλύψεις της επιστήμης μας και στα μυστικά της εξέλιξής της κατά τους επόμενους αιώνες;» Χαιρετίζοντας τον νέο αιώνα, ο Χίλμπερτ παρουσίασε στο ακροατήριό του έναν κατάλογο από είκοσι τρία προβλήματα που, κατά τη γνώμη του, θα απασχολούσαν τους μαθηματικούς ερευνητές του εικοστού αιώνα.

Στις δεκαετίες που ακολούθησαν αρκετά από τα προβλήματα αυτά απαντήθηκαν κι εκείνοι που τα έλυσαν απαρτίζουν, σήμερα, την αφρόκρεμα των μαθηματικών. Στον τιμητικό κατάλογο συμπεριλαμβάνονται επιστήμονες σαν τον Κουρτ Γκέντελ (Kurt Gödel) και τον Ανρί Πουανκαρέ (Henri Poincaré), καθώς και πολλοί άλλοι πιονιέροι που με τις ιδέες τους μετασχημάτισαν το μαθηματικό τοπίο. Ωστόσο, για το όγδοο πρόβλημα στον κατάλογο του Χίλμπερτ –την Υπόθεση του Ρίμαν– ο εικοστός αιώνας φάνηκε να περνά χωρίς να βρεθεί ο γενναίος ιππότης που θα το κατατρόπωνε.

Απ’ όλα τα προβλήματα που απαρίθμησε ο Χίλμπερτ, το όγδοο κατείχε μια ειδική θέση στην καρδιά του. Υπάρχει ένας γερμανικός μύθος για τον Φρειδερίκο Μπαρμπαρόσα, τον δημοφιλή Γερμανό αυτοκράτορα που πέθανε κατά την τρίτη σταυροφορία. Σύμφωνα με την παράδοση, είναι ακόμα ζωντανός, κοιμισμένος σε μια σπηλιά στα όρη Κιφχόιουζερ, και θα ξυπνήσει μόνο όταν τον χρειαστούν οι Γερμανοί. Λένε πως κάποτε ρώτησαν τον Χίλμπερτ: «Αν ήταν να ξαναζωντανέψεις, σαν τον Μπαρμπαρόσα, ύστερα από πεντακόσια χρόνια, τι θα έκανες;» Κι αυτός απάντησε: «Θα ρωτούσα αν έχει αποδειχθεί η Υπόθεση του Ρίμαν».

Καθώς ο εικοστός αιώνας πλησίαζε στο τέλος του, οι περισσότεροι μαθηματικοί το είχαν πάρει απόφαση ότι αυτό το συγκεκριμένο πετράδι ανάμεσα στα προβλήματα του Χίλμπερτ, όχι μόνο θα επιβίωνε κατά τη διάρκεια του αιώνα, αλλά ενδεχομένως θα παρέμενε αναπόδεικτο και μετά την πάροδο των πεντακοσίων χρόνων που θα διαρκούσε η νάρκη του Χίλμπερτ. Με την επαναστατική ομιλία του, που ήταν γεμάτη εικασίες για το άγνωστο, ο Χίλμπερτ είχε εντυπωσιάσει το ακροατήριό του κατά το πρώτο διεθνές μαθηματικό συνέδριο του εικοστού αιώνα. Ωστόσο, μια έκπληξη περίμενε και τους μαθηματικούς που σχεδίαζαν να παρακολουθήσουν το τελευταίο αντίστοιχο συνέδριο του αιώνα.

Στις 7 Απριλίου του 1997, οι οθόνες των υπολογιστών της παγκόσμιας μαθηματικής κοινότητας πήραν φωτιά με κάποια συνταρακτικά νέα. Στην ιστοσελίδα του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών που ήταν προγραμματισμένο για την επόμενη χρονιά στο Βερολίνο, υπήρχε η ανακοίνωση ότι το Ιερό Δισκοπότηρο των Μαθηματικών είχε επιτέλους ανακαλυφθεί. Η Υπόθεση του Ρίμαν είχε αποδειχτεί. Δίχως άλλο, τα νέα θα είχαν συνταρακτικές επιπτώσεις, αφού η Υπόθεση του Ρίμαν παίζει κεντρικό ρόλο στα Μαθηματικά. Διαβάζοντας το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο τους, οι μαθηματικοί όλου του κόσμου ένιωσαν ρίγη συγκίνησης. Επιτέλους, θα κατανοούσαν ένα από τα βαθύτερα μαθηματικά μυστήρια.

Η ανακοίνωση περιλαμβανόταν σε μια επιστολή του καθηγητή Ενρίκο Μπομπιέρι (Enrico Bombieri) – και κανείς δεν θα μπορούσε να ονειρευτεί καλύτερη, πιο αξιόπιστη πηγή. Ο Μπομπιέρι, ένας από τους ιππότες της Υπόθεσης του Ρίμαν, εργάζεται στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Μελετών του Πρίνστον (Institute of Advanced Studies – IAS), που κάποτε στέγασε τον Αϊνστάιν και τον Γκέντελ. Συνηθίζει να μιλά σιγά, αλλά όλοι οι μαθηματικοί ακούνε πάντα με προσοχή αυτά που έχει να πει.

Ο Μπομπιέρι μεγάλωσε στην Ιταλία, όπου οι αμπελώνες της εύπορης οικογένειάς του τον βοήθησαν να γευτεί από νωρίς τις χαρές της ζωής. Οι συνάδελφοί του τον αποκαλούν συχνά «Μαθηματικό Αριστοκράτη». Στα νιάτα του έκανε πάντα εντύπωση στις διάφορες επιστημονικές συναντήσεις της Ευρώπης, φτάνοντας μέσα σε ακριβά σπορ αυτοκίνητα. Του άρεσε να διαδίδει τη φήμη ότι κάποτε είχε έρθει έκτος σ’ ένα εικοσιτετράωρο ράλι στην Ιταλία. Οι επιτυχίες του στις μαθηματικές πίστες, πολύ πιο σαφείς και συγκεκριμένες, του εξασφάλισαν μια πρόσκληση από το Πρίνστον, κατά τη δεκαετία του ’70. Από τότε παρέμεινε εκεί. Τον ενθουσιασμό του για τα ράλι, αντικατέστησε το πάθος του για τη ζωγραφική, ιδίως πορτρέτων.

Ωστόσο, απ’ όλες τις δημιουργικές τέχνες, αυτό που ενθουσιάζει περισσότερο τον Μπομπιέρι είναι τα Μαθηματικά, και ειδικότερα η Υπόθεση του Ρίμαν. Η Υπόθεση του Ρίμαν τού έχει γίνει έμμονη ιδέα από την εποχή που πρωτοδιάβασε γι’ αυτήν, στην τρυφερή ηλικία των δεκαπέντε ετών. Ανέκαθεν τον μάγευαν οι ιδιότητες των αριθμών και μελετούσε με πάθος τα μαθηματικά βιβλία που είχε συγκεντρώσει ο πατέρας του, ένας οικονομολόγος, στην τεράστια βιβλιοθήκη του. Εκεί ανακάλυψε πως η Υπόθεση του Ρίμαν θεωρείτο ως το βαθύτερο και θεμελιωδέστερο πρόβλημα στη Θεωρία των Αριθμών. Η μανία του να λύσει το πρόβλημα γιγαντώθηκε όταν ο πατέρας του –μάλλον απελπισμένος από το γεγονός ότι ο Ενρίκο έπαιρνε συνεχώς το δικό του αυτοκίνητο– υποσχέθηκε να του αγοράσει μια Φεράρι, αν ποτέ το έλυνε.

Σύμφωνα με το e-mail του, ο Μπομπιέρι είχε χάσει το βραβείο. «Υπάρχουν φανταστικές εξελίξεις μετά την ομιλία που έκανε την περασμένη Τετάρτη ο Αλέν Κον (Alain Connes) στο ΙAS», άρχιζε ο Μπομπιέρι. Αρκετά χρόνια πριν, ο μαθηματικός κόσμος πληροφορήθηκε με ενδιαφέρον ότι ο Αλέν Κον είχε στρέψει το ενδιαφέρον του στην Υπόθεση του Ρίμαν. Ο Κον είναι ένας επαναστάτης των Μαθηματικών, ένας καλόβολος Ροβεσπιέρος, σε αντιπαράθεση με τον Λουδοβίκο ΙΣΤ΄-Μπομπιέρι. Είναι μια ιδιαιτέρως χαρισματική προσωπικότητα, με φλογερό στιλ, που απέχει πολύ από την εικόνα του σοβαρού και απόμακρου μαθηματικού. Μέσα του κοχλάζει συνεχώς ο ενθουσιασμός του φανατικού που είναι απολύτως πεπεισμένος για την κοσμοθεωρία του και οι ομιλίες του έχουν την ικανότητα να μαγνητίζουν το κοινό. Η αφοσίωση των οπαδών του θυμίζει λατρεία – θα έσπευδαν με προθυμία να στήσουν οδοφράγματα για να υπερασπιστούν τον ήρωά τους ενάντια στις ενδεχόμενες αντεπιθέσεις που θα προέλθουν από τις παραδοσιακές θέσεις του «παλαιού καθεστώτος».

Ο Κον εργάζεται στο Ίδρυμα Ανωτέρων Επιστημονικών Μελετών (Institut des Hautes Études Scientifiques – IHES) στο Παρίσι. Από το 1979 που εγκαταστάθηκε εκεί, έχει δημιουργήσει μια εντελώς νέα γλώσσα για την κατανόηση της Γεωμετρίας. Δεν διστάζει να ωθήσει το αντικείμενό του στην απώτατη αφαίρεση. Ακόμα και η πλειονότητα των μαθηματικών, που γενικά αισθάνονται άνετα με την άκρως θεωρητική προσέγγιση του κόσμου που επιχειρεί η επιστήμη τους, τα βρήκαν σκούρα με την αφαιρετική επανάσταση που προτείνει ο Κον. Όμως, όπως απέδειξε σε όσους αμφέβαλλαν για την αναγκαιότητα μιας τόσο αφαιρετικής προσέγγισης, η νέα γεωμετρική γλώσσα του ανοίγει αρκετούς δρόμους προς τον πραγματικό κόσμο της κβαντικής φυσικής. Αν αυτό σπέρνει τον τρόμο στις καρδιές των μαθηματικών, τόσο το χειρότερο.

Η τολμηρή δήλωση του Κον, ότι η νέα γεωμετρία του θα μπορούσε όχι μόνο να αποκαλύψει τον κόσμο της κβαντικής φυσικής, αλλά και να εξηγήσει την Υπόθεση του Ρίμαν –το μεγαλύτερο μυστήριο των αριθμών– προκάλεσε όχι μόνο έκπληξη αλλά και ένα γενικότερο σοκ. Το γεγονός ότι τολμούσε να εισβάλει άμεσα στην καρδιά της Θεωρίας των Αριθμών, και να ρισκάρει μια ολομέτωπη σύγκρουση με ένα από τα σημαντικότερα και δυσκολότερα προβλήματα των Μαθηματικών, αντικατόπτριζε την περιφρόνησή του για τα παραδοσιακά όρια. Από τα μέσα της δεκαετίας του ’90, όταν εμφανίστηκε στο προσκήνιο, στον αέρα πλανάται η προσδοκία πως αν υπάρχει κάποιος που έχει τη δυνατότητα και τα μέσα ν’ αντιμετωπίσει αυτό το διαβόητα δύσκολο πρόβλημα, αυτός είναι μόνο ο Αλέν Κον.

Κατά τα φαινόμενα, όμως, αυτός που είχε βρει το τελευταίο κομμάτι του περίπλοκου παζλ, δεν ήταν ο Κον. Ο Μπομπιέρι συνέχιζε εξηγώντας ότι ένας νεαρός φυσικός από το ακροατήριο είχε μια «αστραπιαία σύλληψη», σχετικά με το πώς θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει αυτόν τον παράξενο κόσμο των φερμιονικών-μποζονικών συστημάτων για να επιτεθεί στην Υπόθεση του Ρίμαν. Οι μαθηματικοί που γνώριζαν ακριβώς τι σήμαινε αυτό το κοκτέιλ παράξενων λέξεων, δεν ήταν πολλοί. Ο Μπομπιέρι, όμως, έσπευδε να εξηγήσει ότι περιέγραφε τη φυσική που διέπει ένα σχεδόν απολύτως μηδενικό σύνολο ενός μίγματος ανιονίων και μορονίων2 με αντίθετη ιδιοστροφορμή. Ακουγόταν μάλλον συγκεχυμένο, αλλά στο κάτω κάτω επρόκειτο για τη λύση του δυσκολότερου προβλήματος στην ιστορία των Μαθηματικών. Κανείς, λοιπόν, δεν περίμενε πως η λύση θα ήταν εύκολη. Σύμφωνα με τον Μπομπιέρι, ύστερα από έξι μέρες αδιάκοπης εργασίας, και με τη βοήθεια μιας γλώσσας προγραμματισμού που λεγόταν MISPAR, ο νεαρός φυσικός είχε επιτέλους «συντρίψει» το δυσκολότερο πρόβλημα των μαθηματικών.

Ο Μπομπιέρι τέλειωνε το μήνυμά του ως εξής: «Ουάου! Παρακαλώ, διαδώστε αυτό το μήνυμα όσο το δυνατόν ευρύτερα». Αν και το γεγονός ότι ένας νεαρός φυσικός είχε τελικά αποδείξει την Υπόθεση του Ρίμαν ήταν ασυνήθιστο, δεν εξέπληξε πολύ κόσμο. Μεγάλο μέρος των Μαθηματικών βρέθηκε κατά τις τελευταίες δεκαετίες να εμπλέκεται ουσιαστικά με τη φυσική. Μολονότι πρόκειται για ένα πρόβλημα που η καρδιά του βρίσκεται στη Θεωρία Αριθμών, η Υπόθεση του Ρίμαν είχε να επιδείξει τα τελευταία χρόνια απροσδόκητη συνάφεια με προβλήματα της φυσικής στοιχειωδών σωματιδίων.

Οι μαθηματικοί άρχισαν να τροποποιούν τα ταξιδιωτικά τους σχέδια, έτσι ώστε να περάσουν από το Πρίνστον και να παρευρεθούν στη μεγάλη στιγμή. Οι μνήμες ήταν ακόμα νωπές από τα περιστατικά που είχαν λάβει χώρα μερικά χρόνια νωρίτερα, τον Ιούνιο του 1993, σε μια διάλεξη στο Κέιμπριτζ. Τότε, ο Άγγλος μαθηματικός Άντριου Γουάιλς (Andrew Wiles), απέδειξε ότι ο Φερμά είχε δίκιο όταν ισχυριζόταν πως η εξίσωση xn + yn = zn δεν έχει ακέραιες, μη μηδενικές λύσεις για n μεγαλύτερο του 2. Καθώς ο Γουάιλς, τελειώνοντας τη διάλεξή του, άφηνε την κιμωλία του, οι μπουκάλες της σαμπάνιας άρχισαν να ανοίγουν και τα φλας των φωτογραφικών μηχανών να αστράφτουν.

Ωστόσο, οι μαθηματικοί γνώριζαν πως η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα επηρέαζε σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό το μέλλον των Μαθηματικών, απ’ ότι η επιβεβαίωση πως η εξίσωση του Φερμά δεν είχε λύσεις. Όπως είχε ανακαλύψει ο Μπομπιέρι στην τρυφερή ηλικία των δεκαπέντε ετών, η Υπόθεση του Ρίμαν οδηγεί στην κατανόηση των θεμελιωδέστερων αντικειμένων στα Μαθηματικά – των πρώτων αριθμών.

Οι πρώτοι αριθμοί –δηλαδή, οι αδιαίρετοι, αυτοί που δεν μπορούν να γραφούν ως γινόμενο δυο μικρότερων αριθμών– αποτελούν τα άτομα της Αριθμητικής. Οι αριθμοί 13 και 17 είναι πρώτοι, ενώ ο 15 δεν είναι, αφού μπορεί να αποδοθεί και με τη μορφή 3 επί 5. Οι πρώτοι αριθμοί, διαμάντια σκορπισμένα σε ολόκληρο το απέραντο σύμπαν των αριθμών, που οι μαθηματικοί εξερευνούν εδώ και αιώνες, εμπνέουν δέος: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… – αιώνιοι αριθμοί που υπάρχουν σ’ έναν κόσμο ανεξάρτητο της φυσικής πραγματικότητας. Είναι το δώρο της φύσης προς τους μαθηματικούς.

Η μεγάλη σημασία τους για τα Μαθηματικά, έγκειται στο γεγονός ότι έχουν τη δυνατότητα να «χτίσουν» όλους τους άλλους αριθμούς. Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος, μπορεί να δομηθεί πολλαπλασιάζοντας μεταξύ τους κάποιους από αυτούς τους θεμέλιους λίθους. Κάθε μόριο του φυσικού κόσμου, μπορεί να κατασκευαστεί από άτομα που περιέχονται στον περιοδικό πίνακα των χημικών στοιχείων. Ο κατάλογος των πρώτων αριθμών, είναι ο περιοδικός πίνακας του μαθηματικού. Οι πρώτοι 2, 3 και 5 είναι το υδρογόνο, το ήλιον και το λίθιο στο μαθηματικό εργαστήρι. Η πλήρης κατανόηση αυτών των δομικών λίθων, επιτρέπει στον μαθηματικό να ελπίζει ότι θα ανακαλύψει νέους τρόπους χάραξης διαδρομών διά μέσου των απέραντων πολυπλοκοτήτων του μαθηματικού κόσμου.

Και όμως, παρά τη φαινομενική απλότητα και τον θεμελιακό χαρακτήρα τους, οι πρώτοι αριθμοί παραμένουν το πιο μυστηριώδες αντικείμενο ανάμεσα σ’ εκείνα που διερευνούν οι μαθηματικοί. Σ’ έναν επιστημονικό κλάδο αφιερωμένο στην αναζήτηση κανονικοτήτων και τάξης, οι πρώτοι αποτελούν την υπέρτατη πρόκληση. Παρατηρώντας τον κατάλογο των πρώτων αριθμών, θα διαπιστώσουμε πως είναι αδύνατον να προβλέψουμε πότε θα εμφανιστεί ο επόμενος πρώτος. Ο κατάλογος μοιάζει τυχαίος και χαοτικός, χωρίς να δίνει κάποια ένδειξη σχετικά με το πώς θα ανακαλυφθεί ο επόμενος αριθμός. Ο κατάλογος των πρώτων είναι ο χτύπος της καρδιάς των Μαθηματικών, αλλά δείχνει σαν να έχει τροφοδοτηθεί με ισχυρή δόση καφεΐνης:

Μπορείτε να βρείτε έναν τύπο που να παράγει τους αριθμούς αυτού του «καρδιογραφήματος», έναν μαγικό κανόνα που να μας λέει ποιος είναι, για παράδειγμα, ο 100ός πρώτος; Αυτό το ερώτημα βασανίζει τη σκέψη των μαθηματικών εδώ και αιώνες. Παρά την υπερδισχιλιετή προσπάθεια, οι πρώτοι αριθμοί μοιάζουν να αψηφούν κάθε απόπειρα ένταξής τους σ’ ένα απλό μοτίβο. Γενεές επί γενεών αφουγκράστηκαν με προσοχή τον ρυθμό του τυμπάνου των πρώτων αριθμών να κρούει την ακολουθία τους. Δυο κρούσεις, ύστερα τρεις, πέντε, επτά, έντεκα. Καθώς η τυμπανοκρουσία συνεχίζεται, εύκολα φτάνει κανείς στο σημείο να πιστέψει ότι πρόκειται για τυχαίο θόρυβο, χωρίς καμιά εσωτερική λογική. Στην καρδιά των Μαθηματικών, την αναζήτηση της τάξης, οι μαθηματικοί δεν ακούν τίποτε άλλο από τον ήχο του χάους.

Οι μαθηματικοί αρνούνται να παραδεχτούν ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει μια εξήγηση, για τον τρόπο με τον οποίο η φύση έχει επιλέξει τους πρώτους αριθμούς. Αν δεν υπήρχε δομή στα Μαθηματικά, αυτή η ωραία απλότητα, δεν θα άξιζε τον κόπο να τα μελετάμε. Κανείς δεν θεώρησε ποτέ ως ευχάριστη απασχόληση να κάθεται και ν’ ακούει τυχαίους θορύβους. Όπως έγραψε ο Γάλλος μαθηματικός Ανρί Πουανκαρέ, «… ο επιστήμονας δεν μελετά τη φύση επειδή αυτό είναι χρήσιμο. Την μελετά επειδή τον σαγηνεύει, και τον σαγηνεύει επειδή είναι όμορφη. Αν η φύση δεν ήταν όμορφη δεν θ’ άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε. Και αν η φύση δεν άξιζε τον κόπο να την γνωρίσουμε, η ζωή δεν θ’ άξιζε τον κόπο να την ζούμε».

Θα μπορούσε κανείς να ελπίσει ότι ύστερα από ένα ανώμαλο ξεκίνημα, στο τέλος η κανονικότητα των πρώτων αποκαθίσταται. Τα πράγματα, όμως, δεν είναι έτσι. Αντιθέτως, μοιάζουν να χειροτερεύουν όσο οι αριθμοί μεγαλώνουν. Ας εξετάσουμε τους πρώτους που βρίσκονται σε απόσταση μικρότερη από εκατό μονάδες εκατέρωθεν του 10.000.000. Πρώτα οι μικρότεροι:

9.999.901 9.999.907 9.999.929 9.999.931 9.999.937

9.999.943 9.999.971 9.999.973 9.999.991

Δείτε, όμως, πόσο λίγοι είναι μεγαλύτεροι του 10.000.000:

10.000.019 10.000.079

Δύσκολα μπορεί κανείς να φανταστεί έναν τύπο που θα παρήγε αυτό το μοτίβο. Στην πραγματικότητα, η ακολουθία των πρώτων θυμίζει πολύ περισσότερο μια τυχαία διαδοχή αριθμών, παρά μια καλά διατεταγμένη κανονικότητα. Όπως ακριβώς η γνώση του αποτελέσματος 99 διαδοχικών ρίψεων ενός νομίσματος (κορόνα-γράμματα) δεν μας βοηθά καθόλου να προβλέψουμε το εκατοστό αποτέλεσμα, έτσι και οι πρώτοι αριθμοί μοιάζουν να διαφεύγουν από οποιαδήποτε διαδικασία πρόβλεψης.

Οι πρώτοι αριθμοί θέτουν στους μαθηματικούς μια από τις πιο παράξενες προκλήσεις που συναντούν στο αντικείμενό τους. Από τη μια, ένας αριθμός ή είναι πρώτος ή δεν είναι. Κανένα «κορόνα-γράμματα» δεν θα μετατρέψει ξαφνικά έναν πρώτο αριθμό σε σύνθετο, δηλαδή διαιρετό δι’ ενός μικρότερου ακεραίου. Κι όμως, κανείς δεν αμφισβητεί ότι η καταγραφή των πρώτων αριθμών, έχει σαφώς την όψη μιας ακολουθίας τυχαία επιλεγμένων αριθμών. Οι φυσικοί έχουν συνηθίσει στην ιδέα ότι ένα κβαντικό ζάρι καθορίζει τη μοίρα του σύμπαντος, επιλέγοντας τυχαία, σε κάθε ρίψη του, πού ακριβώς θα εντοπίσουν ύλη οι επιστήμονες. Είναι, όμως, αρκετά ενοχλητικό να πρέπει να παραδεχτούμε ότι αυτοί οι θεμελιώδεις αριθμοί, πάνω στους οποίους βασίζονται τα Μαθηματικά, μοιάζουν να έχουν κατανεμηθεί από τη φύση με τη ρίψη ενός ζαριού, το οποίο κάθε φορά κανονίζει την τύχη του καθενός από αυτούς. Η τυχαιότητα και το χάος αποτελούν ανάθεμα για τους περισσότερους μαθηματικούς.

Παρά την τυχαιότητά τους, οι πρώτοι αριθμοί –περισσότερο από οτιδήποτε άλλο στη μαθηματική μας κληρονομιά– έχουν έναν αιώνιο και οικουμενικό χαρακτήρα. Οι πρώτοι αριθμοί θα υπήρχαν, ανεξαρτήτως του αν θα εξελισσόμασταν αρκετά ώστε να τους αναγνωρίσουμε. Όπως έγραψε ο μαθηματικός Γκ. Χ. Χάρντι (G.H. Hardy) από το Κέιμπριτζ, στο ονομαστό βιβλίο του Απολογία ενός μαθηματικού4, «… το 317 είναι πρώτος, όχι επειδή το πιστεύουμε ή επειδή τα μυαλά μας είναι διαμορφωμένα με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, αλλά γιατί έτσι είναι, γιατί η μαθηματική πραγματικότητα είναι δομημένη με αυτό τον τρόπο».

Κάποιοι φιλόσοφοι ίσως προβληματιστούν με μια τόσο πλατωνική θεώρηση του κόσμου –με την πίστη σε μια απόλυτη και αιώνια πραγματικότητα, πέρα από την ανθρώπινη ύπαρξη– εγώ όμως πιστεύω ότι αυτό είναι που τους κάνει φιλοσόφους και όχι μαθηματικούς. Στο βιβλίο Matière à pensée, καταγράφεται ένας συγκλονιστικός διάλογος ανάμεσα στον Αλέν Κον, τον μαθηματικό που αναφερόταν στο μήνυμα του Μπομπιέρι, και τον νευροβιολόγο Ζαν Πιέρ Σανζέ (Jean-Pierre Changeux). Η ένταση στο βιβλίο είναι ορατή όταν ο μαθηματικός επιχειρηματολογεί υπέρ της ύπαρξης Μαθηματικών ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό, ενώ ο νευροβιολόγος απορρίπτει αποφασιστικά μια τέτοια άποψη: «Γιατί δεν θα βλέπαμε τη φράση “π = 3,1416”, γραμμένη με χρυσά γράμματα στον ουρανό, ή την ένδειξη “6,02 3 1023” να εμφανίζεται στις αντανακλάσεις μιας κρυστάλλινης σφαίρας;» Ο Σανζέ διατυπώνει τις αντιρρήσεις του στην επιμονή του Κον ότι, «ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό, υπάρχει ένας κόσμος από αμετάβλητες μαθηματικές αλήθειες», και ότι στην καρδιά αυτού του κόσμου βρίσκουμε τους πρώτους αριθμούς. Τα Μαθηματικά, ισχυρίζεται ο Κον, «είναι χωρίς καμιά αμφιβολία η μόνη οικουμενική γλώσσα». Μπορεί κανείς να φανταστεί μια διαφορετική Χημεία ή Βιολογία στην απέναντι πλευρά του Σύμπαντος, αλλά οι πρώτοι αριθμοί θα παραμένουν πρώτοι αριθμοί, σε όποιον γαλαξία και αν μετράμε.

Στο κλασικό μυθιστόρημα του Καρλ Σαγκάν (Carl Sagan) Contact, εξωγήινοι χρησιμοποιούν τους πρώτους αριθμούς για να έρθουν σε επαφή με ζωντανά όντα στη Γη. Η Έλλι Άρογουεϊ, ηρωίδα του βιβλίου, εργάζεται στο πρόγραμμα SETI (Search for Extraterrestrial Intelligence – Αναζήτηση Εξωγήινης Νοημοσύνης), και προσπαθεί να αφουγκραστεί τους κοσμικούς ήχους. Ένα βράδυ που τα ραδιοτηλεσκόπια είναι στραμμένα προς τον Βέγα, συλλαμβάνουν παράξενους παλμούς, οι οποίοι ξεχωρίζουν μέσα από τον θόρυβο που επικρατεί στο υπόβαθρο. Σε χρόνο μηδέν, η Έλλι αναγνωρίζει το μοτίβο αυτού του ραδιοσήματος: δυο παλμοί ακολουθούμενοι από μια παύση, ύστερα τρεις, πέντε, επτά, έντεκα και ούτω καθεξής. Όλοι οι πρώτοι αριθμοί μέχρι το 907 παρελαύνουν. Ύστερα το μήνυμα αρχίζει ξανά από την αρχή.

Αυτό το κοσμικό τύμπανο έπαιζε μια μουσική που οι γήινοι αργά ή γρήγορα θα αναγνώριζαν Η Έλλι είναι πεπεισμένη πως μόνο μια ευφυής μορφή ζωής θα μπορούσε να παραγάγει αυτό τον ρυθμό. «Είναι δύσκολο να φανταστούμε ότι μια ποσότητα πλάσματος ακτινοβολεί τυχαία μια τόσο κανονική ακολουθία μαθηματικών σημάτων. Οι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν εδώ για να τραβήξουν την προσοχή μας». Αν αυτός ο εξωγήινος πολιτισμός μετέδιδε τους αριθμούς που κατά τα προηγούμενα δέκα χρόνια είχαν κερδίσει στο εξωγήινο λαχείο τους, η Έλλι δεν επρόκειτο να τους διακρίνει από τον θόρυβο στο υπόβαθρο. Ακόμα και αν η ακολουθία των πρώτων αριθμών φαίνεται εξίσου τυχαία με τον κατάλογο των αριθμών που κέρδισαν στο λαχείο, η οικουμενικότητά της είναι αυτή που οδήγησε τους εξωγήινους να την επιλέξουν για εκπομπή προς το Σύμπαν. Και αυτή είναι η δομή που η Έλλι αναγνωρίζει ως ένδειξη ύπαρξης έμβιων οργανισμών με νοημοσύνη.

Η επικοινωνία με τη χρήση πρώτων αριθμών δεν αποτελεί μόνο αντικείμενο της επιστημονικής φαντασίας. Ο Όλιβερ Σακς (Oliver Sacks) στο βιβλίο του Ο άντρας που πέρασε τη γυναίκα του για καπέλο, αναφέρει την περίπτωση δυο εικοσιεξάχρονων διδύμων, του Τζον και του Μάικλ, που η βαθύτερη μορφή επικοινωνίας τους ήταν η ανταλλαγή εξαψήφιων πρώτων αριθμών. Ο Σακς περιγράφει πώς τους αντιλήφθηκε για πρώτη φορά να ανταλλάσσουν κρυφά πρώτους αριθμούς, στη γωνιά ενός δωματίου: «… έμοιαζαν σαν δυο οινολόγοι που δοκίμαζαν σπάνια είδη κρασιών, ανταλλάσσοντας γευστικές εμπειρίες». Αρχικά, ο Σακς δεν κατάλαβε τι ακριβώς έκαναν οι δίδυμοι. Σε λίγο, όμως, έσπασε τον κώδικά τους. Απομνημόνευσε τότε μερικούς οκταψήφιους πρώτους αριθμούς και την επόμενη φορά που συναντήθηκε με τους διδύμους, άφησε τεχνηέντως να ακουστούν αυτοί οι αριθμοί κατά τη διάρκεια της κουβέντας. Την αρχική έκπληξη των διδύμων διαδέχτηκε βαθιά περίσκεψη που εξελίχθηκε σε ενθουσιασμό, όταν αναγνώρισαν άλλον ένα πρώτο αριθμό. Ενώ όμως ο Σακς είχε ανατρέξει σε καταλόγους πρώτων αριθμών για να διαλέξει αυτούς που χρησιμοποίησε, ο τρόπος με τον οποίο οι δίδυμοι ανακάλυπταν τους αριθμούς τους, αποτελεί μυστήριο. Άραγε, αυτές οι αυτιστικές ιδιοφυΐες κατείχαν κάποιον μυστικό τύπο που είχε διαφύγει από γενεές μαθηματικών;

Η ιστορία των διδύμων, είναι από τις αγαπημένες του Μπομπιέρι:

Όταν ακούω αυτή την ιστορία, δεν μπορώ παρά να νιώσω έκπληξη και δέος μπροστά στους τρόπους που λειτουργεί ο νους. Αναρωτιέμαι, όμως: άραγε, οι μη μαθηματικοί φίλοι μου έχουν την ίδια αντίδραση; Υποπτεύονται τάχα πόσο παράξενο, πόσο θαυμάσιο, πόσο απόκοσμο είναι το μοναδικό αυτό ταλέντο που απολάμβαναν οι δυο δίδυμοι; Γνωρίζουν ότι οι μαθηματικοί παλεύουν εδώ και αιώνες για να πετύχουν αυτό που ο Τζον και ο Μάικλ έκαναν αυθόρμητα; Να παράγουν, δηλαδή, και να αναγνωρίζουν πρώτους αριθμούς;

Πριν καταφέρει κάποιος να ανακαλύψει τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούσαν οι δίδυμοι, όταν έφτασαν στην ηλικία των 27 ετών οι γιατροί τούς χώρισαν, θεωρώντας ότι αυτή η προσωπική αριθμολογική γλώσσα εμπόδιζε την ανάπτυξή τους. Αν οι ίδιοι γιατροί είχαν παρακολουθήσει τις εξωπραγματικές συζητήσεις που γίνονται στα αναπαυτήρια των τμημάτων μαθηματικών στα διάφορα πανεπιστήμια, μάλλον θα είχαν συστήσει να τα κλείσουν αμέσως κι αυτά.

Είναι πολύ πιθανόν οι δίδυμοι να χρησιμοποιούσαν ένα «κόλπο» βασισμένο στο λεγόμενο «Μικρό Θεώρημα του Φερμά», για να ελέγξουν αν ένας δεδομένος αριθμός είναι πρώτος. Το συγκεκριμένο τεστ είναι ανάλογο με αυτό που οι αυτιστικές ιδιοφυΐες χρησιμοποιούν για να διαπιστώσουν, μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα, ότι η 13η Απριλίου 1922, για παράδειγμα, ήταν Πέμπτη – κάτι που οι δίδυμοι έκαναν συχνά σε διάφορα τηλεοπτικά τοκ σόου. Και τα δυο κόλπα στηρίζονται στη λεγόμενη αριθμητική των υπολοίπων5. Ακόμα κι αν δεν διέθεταν τον μαγικό τύπο για τους πρώτους, η ικανότητά τους ήταν καταπληκτική. Πριν τους χωρίσουν, είχαν φτάσει να βρίσκουν εικοσαψήφιους πρώτους αριθμούς, πολύ πέρα από το ανώτατο όριο των πινάκων του Σακς.

Όμοια με την ηρωίδα του Σαγκάν, που παρακολουθούσε την κοσμική μετάδοση των πρώτων αριθμών, και τον Σακς, ο οποίος κρυφάκουγε τους διδύμους όταν αντάλλασσαν πρώτους, έτσι κι οι μαθηματικοί αφουγκράζονται επί αιώνες μήπως εντοπίσουν κάποια τάξη μέσα σε αυτό τον θόρυβο. Όμως, όπως συμβαίνει κι όταν τα αυτιά των δυτικών ακούνε ανατολίτικη μουσική, δεν έβγαινε κανένα νόημα. Κι ύστερα, κάπου στα μέσα του 19ου αιώνα, έγινε ένα αποφασιστικό βήμα. Ο Μπέρναρντ Ρίμαν (Bernhard Riemann), αποφάσισε να ερευνήσει το πρόβλημα από τελείως διαφορετική σκοπιά. Κάτω από αυτή τη νέα οπτική γωνία, άρχισε να κατανοεί κάτι από το πρότυπο που ευθυνόταν για το χάος των πρώτων αριθμών. Παρά τον εξωτερικό θόρυβο, οι πρώτοι αριθμοί διέπονται από μια περίπλοκη και απροσδόκητη αρμονία. Ωστόσο, παρ’ όλο αυτό το μεγάλο βήμα προς τα εμπρός, η νέα μουσική συνέχισε να κρατά πολλά από τα μυστικά της στο φάσμα των μη ακουστών κυμάτων. Ο Ρίμαν, ο Βάγκνερ του μαθηματικού κόσμου, δεν πτοήθηκε – έκανε μια ριψοκίνδυνη πρόβλεψη σχετικά με τη μυστηριώδη αρμονία που είχε ανακαλύψει, μια πρόβλεψη που έγινε γνωστή ως Υπόθεση του Ρίμαν. Όποιος κατορθώσει να αποδείξει πως η διαίσθηση του Ρίμαν σχετικά με τη φύση αυτής της αρμονίας ήταν σωστή, θα έχει ταυτοχρόνως εξηγήσει και γιατί οι πρώτοι αριθμοί δίνουν μια τόσο πειστική εικόνα τυχαιότητας.

Η διαίσθηση του Ρίμαν προήλθε από την ανακάλυψη ενός μαθηματικού καθρέφτη, μέσα στον οποίο μπορούσε να εξετάζει τους πρώτους αριθμούς. Όταν η Αλίκη έμπαινε μέσα στον καθρέφτη της, ο κόσμος της γύριζε ανάποδα. Αντιθέτως, ο παράξενος μαθηματικός κόσμος μέσα στον καθρέφτη του Ρίμαν φαίνεται να μετασχηματίζει το χάος των πρώτων σε μια κανονικότητα που θα ικανοποιούσε και τον πιο απαιτητικό μαθηματικό. Διατύπωσε την εικασία ότι αυτή η τάξη θα διατηρηθεί, όσο μακριά κι αν πάει κανείς σ’ αυτό τον απέραντο κόσμο που εκτείνεται πίσω από τον καθρέφτη. Η πρόβλεψή του για μια εσωτερική αρμονία μέχρι τα απύθμενα βάθη του καθρέφτη, θα μπορούσε να εξηγήσει γιατί οι πρώτοι μοιάζουν εξωτερικά τόσο χαοτικοί. Η μεταμόρφωση που επιτυγχάνεται μέσω του καθρέφτη του Ρίμαν, η μετατροπή του χάους σε τάξη, είναι τέτοια που οι περισσότεροι μαθηματικοί την θεωρούν προϊόν θαύματος. Η πρόκληση που κληροδότησε ο Ρίμαν στη μαθηματική οικογένεια ήταν να αποδείξει ότι η τάξη που πίστεψε πως διέκρινε, υπάρχει πραγματικά.

Το e-mail που έστειλε ο Μπομπιέρι στις 7 Απριλίου 1997, υποσχόταν την αρχή μιας νέας εποχής. Το όραμα του Ρίμαν δεν ήταν αυταπάτη. Ο μαθηματικός αριστοκράτης είχε προσφέρει στους μαθηματικούς την προκλητική δυνατότητα να εξηγήσουν το φαινομενικό χάος των πρώτων. Οι μαθηματικοί ήταν έτοιμοι να λαφυραγωγήσουν τους πολλαπλούς άλλους θησαυρούς που γνώριζαν ότι θα έφερνε στην επιφάνεια η λύση του μεγάλου προβλήματος.

Η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα έχει τεράστιες επιπτώσεις σε πολλά άλλα μαθηματικά προβλήματα. Οι πρώτοι αριθμοί είναι τόσο σημαντικοί για τον ερευνητή μαθηματικό, ώστε η κάθε πρόοδος στην κατανόηση της φύσης τους, θα έχει σημαντικό αντίκτυπο. Η Υπόθεση του Ρίμαν μοιάζει να είναι ένα αναπόφευκτο πρόβλημα. Καθώς οι μαθηματικοί χαράζουν την πορεία τους μέσα από τα εδάφη της επιστήμης τους, φαίνεται πως κάποια στιγμή, όλα τα μονοπάτια οδηγούν αναγκαστικά στην τρομερή παρουσία της Υπόθεσης του Ρίμαν.

Πολλοί συγκρίνουν την Υπόθεση του Ρίμαν με την κορυφή του όρους Έβερεστ. Όσο περισσότερο αργεί η κατάκτησή της, τόσο γιγαντώνεται και η επιθυμία μας να την «πατήσουμε». Όσο για τον μαθηματικό που θα κατακτήσει τελικά το όρος Ρίμαν, η φήμη του θα ξεπεράσει, δίχως άλλο, αυτήν του Έντμουντ Χίλαρι. Η αξία της κατάκτησης του όρους Έβερεστ δεν έγκειται στο ότι η κορυφή του είναι μια εξαιρετικά ωραία τοποθεσία, αλλά στη δυσκολία του εγχειρήματος. Από αυτή την άποψη, η Υπόθεση του Ρίμαν διαφέρει ουσιαστικά από την ανάβαση στην υψηλότερη κορυφή του κόσμου. Η κορυφή του όρους Ρίμαν είναι μια τοποθεσία στην οποία όλοι θέλουμε να βρεθούμε, επειδή γνωρίζουμε ήδη ποια θέα θα αντικρίσουν τα μάτια μας αν ποτέ κατορθώσουμε να φτάσουμε εκεί. Εκείνος που θα αποδείξει την Υπόθεση του Ρίμαν, θα μας έχει δώσει τη δυνατότητα τα καλύψουμε τα κενά σε χιλιάδες θεωρήματα που η απόδειξή τους εξαρτάται από αυτήν. Πολλοί μαθηματικοί χρειάστηκε να θεωρήσουν ως δεδομένη την Υπόθεση του Ρίμαν για να καταλήξουν στα αποτελέσματα που επιδίωκαν.

Η εξάρτηση ενός τόσο μεγάλου αριθμού αποτελεσμάτων από την Υπόθεση του Ρίμαν, είναι η κύρια αιτία για την οποία οι μαθηματικοί αναφέρονται σε αυτήν με τον όρο «υπόθεση» και όχι «εικασία». Ο όρος «υπόθεση» παραπέμπει σε μια αναγκαία παραδοχή εκ μέρους ενός μαθηματικού, προκειμένου να οικοδομήσει μια θεωρία. Αντιθέτως, ο όρος «εικασία» αναφέρεται σε μια πρόβλεψη που κάνουν οι μαθηματικοί σχετικά με το πώς έχουν τα πράγματα αναφορικά με κάποιο συγκεκριμένο θέμα. Πολλοί παραδέχτηκαν την αδυναμία τους να λύσουν τον γρίφο του Ρίμαν και απλώς υιοθέτησαν την πρόβλεψή του ως μια υπόθεση εργασίας. Αν, λοιπόν, κατορθώσει κάποιος να μετατρέψει αυτή την υπόθεση σε θεώρημα, όλα αυτά τα –μέχρι τώρα– αναπόδεικτα αποτελέσματα θα αποκτήσουν ισχύ θεωρήματος.

Επικαλούμενοι την Υπόθεση του Ρίμαν, οι μαθηματικοί εναποθέτουν την καλή τους φήμη στην ελπίδα πως κάποια μέρα, κάποιος θα αποδείξει ότι ο Ρίμαν είχε τη σωστή διαίσθηση. Αρκετοί προχωρούν ακόμα παραπέρα. Ο Μπομπιέρι αντιμετωπίζει τον ισχυρισμό ότι οι πρώτοι συμπεριφέρονται όπως ακριβώς προβλέπει η Υπόθεση του Ρίμαν, ως μέρος του θρησκευτικού του πιστεύω. Έτσι, η υπόθεση έχει κυριολεκτικά μετατραπεί σε ακρογωνιαίο λίθο στην αναζήτηση της μαθηματικής αλήθειας. Αν, όμως, η Υπόθεση του Ρίμαν αποδειχτεί ψευδής, η εμπιστοσύνη στην ικανότητά μας να «μυριζόμαστε» πώς έχουν τα πράγματα, θα καταρρεύσει. Τόσο πολύ έχουμε πεισθεί για την ορθότητα της Υπόθεσης του Ρίμαν, ώστε το αντίθετο ενδεχόμενο θα απαιτήσει μια ριζική αναθεώρηση του τρόπου με τον οποίο αντιλαμβανόμαστε τον μαθηματικό κόσμο. Ειδικότερα, όλα τα αποτελέσματα που η ύπαρξή τους θεμελιώνεται στην αλήθεια αυτής της υπόθεσης, θα διαλυθούν σαν καπνός.

Το σημαντικότερο είναι ότι η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα σήμαινε πως οι μαθηματικοί θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν μια ιδιαιτέρως γρήγορη διαδικασία η οποία θα εντόπιζε εγγυημένα έναν πρώτο αριθμό με εκατό –για παράδειγμα– ψηφία, ή με όσα ψηφία θέλει να φανταστεί κανείς. Ευλόγως θα ρωτήσετε: «Και λοιπόν;» – εκτός κι αν είναι κανείς μαθηματικός, ένα τέτοιο αποτέλεσμα είναι μάλλον απίθανο να έχει κάποια επίπτωση στη ζωή του.

Ο εντοπισμός των εκατονταψήφιων πρώτων αριθμών μοιάζει εξίσου άσκοπος με τη μέτρηση του αριθμού των αγγέλων που μπορούν να χορέψουν στην κεφαλή μιας καρφίτσας. Παρόλο που οι περισσότεροι άνθρωποι αναγνωρίζουν τον ρόλο των Μαθηματικών στην κατασκευή ενός αεροπλάνου, ή στην ανάπτυξη της ηλεκτρονικής τεχνολογίας, ελάχιστοι φαντάζονται πώς θα μπορούσε η εσωτερική δομή των πρώτων αριθμών να επηρεάσει τη ζωή τους. Άλλωστε, γύρω στη δεκαετία του 1940 και ο ίδιος ο Χάρντι είχε την ίδια άποψη: «Τόσο ο Γκάους, όσοι και άλλοι, υποδεέστεροί του μαθηματικοί, μπορούν να νιώσουν την ικανοποίηση ότι εδώ έχουμε μια επιστήμη (τη Θεωρία των Αριθμών) που η αποστασιοποίησή της από τις συνήθεις καθημερινές ανθρώπινες δραστηριότητες θα την κρατήσει άσπιλη και ευγενή».

Ωστόσο, οι εξελίξεις των τελευταίων χρόνων τοποθέτησαν τους πρώτους αριθμούς στο επίκεντρο του σκληρού και βρόμικου κόσμου του εμπορίου. Οι πρώτοι αριθμοί δεν κατοικοεδρεύουν πια σε ένα απομονωμένο μαθηματικό κάστρο. Στη δεκαετία του 1970, τρεις επιστήμονες, οι Ρον Ρίβεστ (Ron Rivest), Αντί Σαμίρ (Adi Shamir) και Λέοναρντ Άντλμαν (Leonard Adleman), μετέτρεψαν την αναζήτηση των πρώτων αριθμών από ανέμελο παιχνίδι που παίζεται στους φιλντισένιους ακαδημαϊκούς πύργους, σε μια σοβαρή επαγγελματική εφαρμογή. Εκμεταλλευόμενοι μια ανακάλυψη του Πιέρ Φερμά, από τον δέκατο έβδομο αιώνα, αυτοί οι τρεις βρήκαν τον τρόπο να χρησιμοποιήσουν τους πρώτους αριθμούς για την προστασία του αριθμού της πιστωτικής μας κάρτας, ενός αριθμού ο οποίος ταξιδεύει ανά τον κόσμο στα διάφορα ηλεκτρονικά εμπορικά κέντρα. Όταν η ιδέα εμφανίστηκε για πρώτη φορά κατά τη δεκαετία του 1970, κανείς δεν φανταζόταν τις διαστάσεις που θα έπαιρνε το ηλεκτρονικό εμπόριο. Σήμερα, όμως, χωρίς την ισχύ των πρώτων αριθμών, δεν θα υπήρχε καν αυτού του είδους το εμπόριο. Κάθε φορά που παραγγέλνουμε μέσω του διαδικτύου, ο υπολογιστής μας εκμεταλλεύεται την ασφάλεια που παρέχει η ύπαρξη πρώτων αριθμών με εκατό ψηφία. Το σύστημα ονομάζεται RSA – από τα αρχικά των ονομάτων των τριών δημιουργών του. Πάνω από ένα εκατομμύριο πρώτοι αριθμοί έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί για να προστατέψουν τον κόσμο του ηλεκτρονικού εμπορίου.

Κάθε επιχείρηση που δραστηριοποιείται στο διαδίκτυο, στηρίζεται σε πρώτους αριθμούς με περισσότερα από εκατό ψηφία για να εξασφαλίσει την ασφάλεια των εμπορικών συναλλαγών της. Ο συνεχώς διευρυνόμενος ρόλος του διαδικτύου, θα οδηγήσει τελικά τον καθένα μας να συνδέσει την ταυτοποίησή του με τον δικό του προσωπικό πρώτο αριθμό. Έτσι, ξαφνικά ανέκυψε και εμπορικό ενδιαφέρον για το πώς η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα μπορούσε να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε τον τρόπο με τον οποίο είναι κατανεμημένοι οι πρώτοι μέσα στον κόσμο των αριθμών.

Το ενδιαφέρον σ’ αυτή την ιστορία είναι πως, ενώ η δημιουργία του κώδικα στηρίζεται σε ανακαλύψεις σχετικά με τους πρώτους αριθμούς που έκανε ο Φερμά, εδώ και πάνω από τριακόσια χρόνια, το σπάσιμό του στηρίζεται σ’ ένα πρόβλημα του οποίου δεν γνωρίζουμε ακόμα τη λύση. Η ασφάλεια του RSA στηρίζεται στο γεγονός ότι δεν έχουμε, προς το παρόν, τη δυνατότητα να απαντήσουμε σε θεμελιώδη ερωτήματα σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Οι μαθηματικοί γνωρίζουν αρκετά για τους πρώτους ώστε να «χτίζουν» κώδικες για το Ίντερνετ, όχι όμως αρκετά για να τους σπάσουν. Κατανοούμε τη μισή εξίσωση, όχι όμως την άλλη μισή. Ωστόσο, όσο περισσότερο απομυθοποιούμε τους πρώτους αριθμούς, τόσο οι κώδικες του διαδικτύου γίνονται λιγότερο ασφαλείς. Αυτοί οι αριθμοί είναι τα κλειδιά για τις κλειδαριές που προστατεύουν τα ηλεκτρονικά μυστικά του κόσμου. Γι’ αυτό και εταιρείες όπως η ΑΤ&Τ και η Hewlett-Packard επενδύουν χρήματα στην προσπάθεια για κατανόηση της περιπλοκότητας των πρώτων αριθμών και της Υπόθεσης του Ρίμαν. Η γνώση που θα αποκτηθεί από αυτή τη διαδικασία, θα μπορούσε να βοηθήσει στο σπάσιμο των κωδίκων οι οποίοι βασίζονται στους πρώτους αριθμούς και όλες οι εταιρείες που δραστηριοποιούνται στο διαδίκτυο, θα ήθελαν να μάθουν αμέσως ότι οι κώδικές τους δεν είναι πια ασφαλείς – γι’ αυτό ακριβώς, η Θεωρία των Αριθμών και οι επιχειρήσεις έχουν γίνει ένα τόσο παράξενο ζευγάρι. Οι επιχειρήσεις και οι υπηρεσίες ασφαλείας έχουν στραμμένα τα άγρυπνα μάτια τους στους μαυροπίνακες των καθαρών Μαθηματικών.

Έτσι, όταν κυκλοφόρησε η είδηση για το μήνυμα του Μπο-μπιέρι, δεν κινητοποιήθηκαν μόνο οι μαθηματικοί. Θα μπορούσε αυτή η λύση στο πρόβλημα του Ρίμαν να προκαλέσει κατάρρευση των ηλεκτρονικών επιχειρήσεων; Πράκτορες από τη NASA και την Υπηρεσία Εθνικής Ασφαλείας των ΗΠΑ, έσπευσαν στο Πρίνστον για να μάθουν. Όμως, ενώ μαθηματικοί και μυστικοί πράκτορες βρίσκονταν καθ’ οδόν προς το Νιου Τζέρσεϊ, κάποιοι άρχισαν να μυρίζονται πως κάτι δεν πήγαινε καλά με το ηλεκτρονικό μήνυμα του Μπομπιέρι. Είναι γεγονός ότι τα στοιχειώδη σωματίδια έχουν κάπως τρελά ονόματα – γλοιόνια, υπερόνια, γοητευτικά μεσόνια, κουάρκ (το τελευταίο από αυτά είναι παρμένο από το μυθιστόρημα του Τζέιμς Τζόις, Αγρύπνια για τον Φίνεγκαν. Αλλά και «μορόνια»; Πάει πολύ! Ο Μπομπιέρι είναι πασίγνωστος για την ικανότητά του να αξιολογεί οτιδήποτε σχετίζεται με την Υπόθεση του Ρίμαν, αλλά όσοι τον ξέρουν προσωπικά γνωρίζουν ότι έχει και μια σαδιστική αίσθηση του χιούμορ.

Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά είχε πέσει κι αυτό θύμα ενός πρωταπριλιάτικου αστείου, αμέσως μετά την ανακάλυψη ενός λογικού κενού στην πρώτη απόδειξη του Γουάιλς, που είχε παρουσιαστεί στο Κέιμπριτζ. Με το e-mail του Μπομπιέρι, η μαθηματική κοινότητα την πάτησε ξανά. Ελπίζοντας να ζήσουν πάλι τη συγκλονιστική εμπειρία που είχε προσφέρει η ζωντανή παρακολούθηση της απόδειξης του Θεωρήματος του Φερμά, τσίμπησαν το δόλωμα που τους είχε πετάξει ο Μπομπιέρι. Και με την τεχνική της προώθησης των e-mail, η ημερομηνία της 1ης Απριλίου που υπήρχε στο αρχικό μήνυμα, σύντομα εξαφανίστηκε. Αυτό, σε συνδυασμό με το γεγονός ότι το μήνυμα διαβιβάστηκε και σε χώρες όπου δεν υπάρχει το έθιμο του πρωταπριλιάτικου ψέματος, βοήθησε τη φάρσα να σημειώσει πολύ μεγαλύτερη επιτυχία απ’ όση φανταζόταν αρχικά ο Μπομπιέρι. Τελικά, αναγκάστηκε να ομολογήσει ότι το μήνυμά του ήταν φάρσα. Και ενώ πλησίαζε ο εικοστός πρώτος αιώνας, εξακολουθούσαμε να βρισκόμαστε σε απόλυτο σκοτάδι σχετικά με τη φύση των θεμελιωδέστερων αριθμών στα Μαθηματικά. Τελικά, οι πρώτοι αριθμοί γέλασαν τελευταίοι, και γέλασαν καλύτερα…

Γιατί οι μαθηματικοί υπήρξαν τόσο εύπιστοι ώστε να πιστέψουν αμέσως τον Μπομπιέρι; Δεν συνηθίζουν να παραδίδονται εύκολα. Οι σκληροί έλεγχοι που απαιτούν οι μαθηματικοί για να αναγνωρίσουν μια απόδειξη ως έγκυρη, είναι πολύ πιο απαιτητικοί από αυτούς που κρίνονται επαρκείς σε άλλους τομείς. Όπως διαπίστωσε και ο Γουάιλς όταν εντοπίστηκε το λογικό κενό στην πρώτη του απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, η συμπλήρωση του 99% του παζλ δεν επαρκεί: την αιώνια δόξα θα κερδίσει εκείνος που θα συμπληρώσει το τελευταίο κομμάτι, και το τελευταίο κομμάτι δεν αποκλείεται να παραμείνει κρυμμένο επί πολλά χρόνια.

Η αναζήτηση μιας μυστικής πηγής που να αναβλύζει πρώτους, συνεχίζεται εδώ και δύο χιλιετίες. Η λαχτάρα, λοιπόν, για ένα τέτοιο ελιξίριο έκανε τους μαθηματικούς ευάλωτους στην πονηριά του Μπομπιέρι. Επί πολλά χρόνια, οι περισσότεροι μαθηματικοί απλώς φοβούνταν ακόμη και να πλησιάσουν αυτό το «κακόφημο» –εξαιτίας της δυσκολίας του– πρόβλημα. Τώρα, όμως, κι ενώ ο αιώνας πλησίαζε προς το τέλος του, όλο και περισσότεροι μαθηματικοί ήταν διατεθειμένοι να ασχοληθούν με αυτό. Η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά είχε τροφοδοτήσει την ελπίδα πως και τα μεγάλα προβλήματα μπορούν τελικά να λυθούν.

Οι μαθηματικοί είχαν μάλλον ικανοποιηθεί από το γενικό ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά που προκάλεσε η απόδειξη του Θεωρήματος του Φερμά – και αυτό συνέβαλε, χωρίς αμφιβολία, στην επιθυμία τους να πιστέψουν τον Μπομπιέρι. Ξαφνικά, ο Γουάιλς έκανε τα Μαθηματικά είδος της μόδας. Ήταν ευχάριστο, ήταν σχεδόν αισθησιακό να είναι κανείς μαθηματικός. Οι μαθηματικοί αφιερώνουν πολύ χρόνο σε μια περιπέτεια γεμάτη συναρπαστικές εμπειρίες. Όμως, όλες αυτές είναι απολαύσεις που σπανίως έχουν τη δυνατότητα να μοιραστούν με τον υπόλοιπο κόσμο. Τώρα τους δινόταν η ευκαιρία να επιδείξουν ένα τρόπαιο, να παρουσιάσουν θησαυρούς που η μακροχρόνια μοναχική τους πορεία τούς είχε δώσει τη δυνατότητα να αποκαλύψουν.

Η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα ήταν η κατάλληλη μαθηματική κορύφωση του εικοστού αιώνα, ο οποίος είχε αρχίσει με την ανοικτή πρόκληση του Χίλμπερτ προς τον μαθηματικό κόσμο, να λύσει το αίνιγμα. Από τα 23 προβλήματα στον κατάλογο του Χίλμπερτ, η Υπόθεση του Ρίμαν υπήρξε το μοναδικό που εισερχόταν αλώβητο στον εικοστό πρώτο αιώνα.

Στις 24 Μαΐου 2000, οι μαθηματικοί και ο Τύπος συγκεντρώθηκαν στο Collège de France στο Παρίσι για να γιορτάσουν τα εκατοστά γενέθλια της ομιλίας του Χίλμπερτ και για να παρακολουθήσουν την ανακοίνωση ενός νέου καταλόγου επτά προβλημάτων που θα αποτελούσαν την πρόκληση για τους μαθηματικούς της νέας χιλιετίας, και που προτάθηκαν από μια μικρή ομάδα κορυφαίων μαθηματικών, ανάμεσα στους οποίους συμπεριλαμβάνονταν οι Άντριου Γουάιλς και Αλέν Κον. Τα επτά προβλήματα ήταν καινούρια, με εξαίρεση ένα που βρισκόταν ήδη στον κατάλογο του Χίλμπερτ: την Υπόθεση του Ρίμαν. Συμβαδίζοντας με τα καπιταλιστικά πρότυπα που διαμόρφωσαν τον εικοστό αιώνα, αυτά τα προβλήματα έφεραν και κάποιο πρόσθετο αλατοπίπερο. Η Υπόθεση του Ρίμαν και τα υπόλοιπα έξι προβλήματα, συνοδεύονται τώρα και από μια ετικέτα που αναγράφει την τιμή τους: ένα εκατομμύριο δολάρια το κομμάτι – αρκετό για να κινητοποιήσει τον νεαρό φυσικό του Μπομπιέρι, στην περίπτωση που η δόξα δεν θα του αρκούσε.

Η ιδέα των προβλημάτων της χιλιετίας ανήκει στον Λάντον Τ. Κλέι, έναν επιχειρηματία από τη Βοστόνη, ο οποίος δημιούργησε την περιουσία του πουλώντας αμοιβαία κεφάλαια σε ανερχόμενες χρηματαγορές. Παρόλο που είχε εγκαταλείψει τις σπουδές των Μαθηματικών στο Χάρβαρντ, διατήρησε το πάθος του για το αντικείμενο, και θέλησε να το μοιραστεί με άλλους. Γνωρίζει ότι τα χρήματα δεν είναι η δύναμη που κινητοποιεί τους μαθηματικούς. «Το πάθος για την αλήθεια και η επιδίωξη της ομορφιάς, της ισχύος και της κομψότητας των Μαθηματικών, οδηγούν τους μαθηματικούς». Όμως, ο Κλέι δεν είναι αφελής και ως επιχειρηματίας γνωρίζει πως ένα εκατομμύριο δολάρια θα μπορούσαν να ενθαρρύνουν έναν νέο Άντριου Γουάιλς να λάβει μέρος στο κυνήγι της λύσης των μεγάλων μαθηματικών προβλημάτων. Είναι γεγονός ότι ο δικτυακός τόπος του Μαθηματικού Ινστιτούτου Κλέι, δηλαδή η ιστοσελίδα όπου καταχωρίστηκαν τα προβλήματα, την επομένη της ανακοίνωσης κατακλύστηκε από τόσες αιτήσεις πρόσβασης, ώστε τελικά κατέρρευσε.

Τα επτά προβλήματα της χιλιετίας είναι διαφορετικής νοοτροπίας από τα 23 που είχε επιλέξει πριν από έναν αιώνα ο Χίλμπερτ, ο οποίος είχε σχεδιάσει ένα πλάνο για τους μαθηματικούς του εικοστού αιώνα. Πολλά προβλήματά του ήταν πρωτότυπα και ενθάρρυναν μια αλλαγή στάσης απέναντι στο αντικείμενο. Τα 23 προβλήματα του Χίλμπερτ ενθάρρυναν τη μαθηματική κοινότητα να διερευνήσει τις θεμελιώδεις έννοιες, αντί να εστιάζει στα συγκεκριμένα ερωτήματα, όπως το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. Αντί να μαζεύουν σκόρπιες πέτρες από το έδαφος, ο Χίλμπερτ έδωσε στους μαθηματικούς την προοπτική μιας «από αέρος» κατόπτευσης του μαθηματικού τοπίου. Αυτή η νέα προσέγγιση οφείλει πολλά στον Ρίμαν, ο οποίος πενήντα χρόνια πριν είχε αρχίσει αυτή την επαναστατική μεταστροφή από τα Μαθηματικά των τύπων και των εξισώσεων, στα Μαθηματικά των ιδεών και της αφαίρεσης.

Η επιλογή των επτά προβλημάτων για τη νέα χιλιετία υπήρξε πολύ πιο συντηρητική. Πρόκειται για προβλήματα που κατέχουν στη μαθηματική πινακοθήκη θέση ανάλογη με αυτή των έργων του Τέρνερ στην Εθνική Πινακοθήκη, ενώ η συλλογή του Χίλμπερτ είχε πολύ πιο μοντέρνο και πρωτοποριακό χαρακτήρα. Ο συντηρητισμός στην επιλογή των νέων προβλημάτων οφείλεται εν μέρει στο γεγονός ότι η αναμενόμενη λύση έπρεπε να είναι αρκετά σαφής, ώστε να μπορεί να απονεμηθεί αντικειμενικά το βραβείο του ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Τα προβλήματα της χιλιετίας είναι γνωστά στους μαθηματικούς εδώ και μερικές δεκαετίες – και στην περίπτωση της Υπόθεσης του Ρίμαν, εδώ και πάνω από εκατό χρόνια. Πρόκειται για μια επιλογή κλασικού χαρακτήρα.

Τα επτά εκατομμύρια δολάρια του Κλέι δεν είναι τα πρώτα χρήματα που αθλοθετούνται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Το 1997 ο Γουάιλς εισέπραξε το χρηματικό έπαθλο των 75.000 γερμανικών μάρκων που πρόσφερε το 1908 ο Πάουλ Βόλφ-σκελ (Paul Wolfskehl) για την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Η ιστορία σχετικά με το βραβείο Βόλφσκελ είναι αυτή που τράβηξε για πρώτη φορά την προσοχή του Γουάιλς γύρω από το πρόβλημα του Φερμά, στην τρυφερή ηλικία των δέκα ετών. Ο Κλέι πιστεύει ότι αν το δικό του βραβείο έχει το ίδιο αποτέλεσμα σχετικά με την Υπόθεση του Ρίμαν, τότε το εκατομμύριό του θα έχει πιάσει τόπο. Στη συνέχεια, δυο εκδοτικοί οίκοι, οι Faber & Faber στο Ηνωμένο Βασίλειο και Bloomsbury στις ΗΠΑ, πρόσφεραν ένα εκατομμύριο δολάρια για μια απόδειξη της εικασίας του Γκόλντμπαχ (Goldbach) στα πλαίσια της προώθησης του μυθιστορήματος του Απόστολου Δοξιάδη, Ο Θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ. Για να εισπράξει κάποιος τα χρήματα όφειλε να αποδείξει ότι κάθε άρτιος αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων. Ωστόσο, οι εκδότες δεν άφηναν πολλά χρονικά περιθώρια στους επίδοξους λύτες: η λύση έπρεπε να υποβληθεί μέχρι τα μεσάνυχτα της 15ης Μαρτίου 2002 και –κάτι που ξένισε– μόνο από κατοίκους του Ηνωμένου Βασιλείου και των ΗΠΑ.

Ο Κλέι πιστεύει πως οι μαθηματικοί αμείβονται ελάχιστα και δεν αναγνωρίζεται το έργο τους. Δεν μπορούν, για παράδειγμα, να προσδοκούν ένα βραβείο Νόμπελ Μαθηματικών. Στη θέση του, το μετάλλιο Φιλντς (Fields) θεωρείται το ανώτερο τρόπαιο στον μαθηματικό κόσμο. Σε αντίθεση με τα Νόμπελ, που συνήθως απονέμονται σε επιστήμονες προς το τέλος της καριέρας τους, ως επιβράβευση εργασιών του παρελθόντος, τα μετάλλια Φιλντς περιορίζονται στη βράβευση μαθηματικών ηλικίας κάτω των σαράντα ετών. Αυτό δεν οφείλεται στη γενικώς διαδεδομένη αντίληψη ότι η μαθηματική έμπνευση στερεύει σε πολύ νεαρή ηλικία. Ο Τζον Φιλντς, ο οποίος είχε την ιδέα του βραβείου και ανέλαβε τη χρηματοδότησή του ήθελε ένα βραβείο που να αποτελεί κίνητρο για τους πολλά υποσχόμενους νέους μαθηματικούς, ώστε να επιτύχουν ακόμη περισσότερα. Τα μετάλλια απονέμονται κάθε τέσσερα χρόνια, στα πλαίσια του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών. Τα πρώτα δόθηκαν στο Όσλο, το 1936.

Το όριο ηλικίας τηρείται με αυστηρότητα. Έτσι, η επιτροπή των μεταλλίων Φιλντς δεν μπόρεσε να απονείμει το μετάλλιο στον Άντριου Γουάιλς, παρά τη συγκλονιστική επιτυχία του να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Φερμά. Η πρώτη ευκαιρία που του δόθηκε, μετά την ολοκλήρωση της απόδειξης, ήταν στο συνέδριο του Βερολίνου, το 1998. Όμως, ο Γουάιλς –γεννημένος το 1953– ήταν τότε 45 ετών. Υπήρξε βέβαια ένα ειδικό μετάλλιο, αλλά αυτό δεν συγκρίνεται με την τιμή να είναι κανείς μέλος της διάσημης λέσχης των κατόχων του μεταλλίου Φιλντς. Αρκετά μέλη αυτής της λέσχης παίζουν σημαντικό ρόλο στο έργο που περιγράφουμε εδώ: Ενρίκο Μπομπιέρι, Αλέν Κον, Άτλε Σέλμπεργκ, Πολ Κοέν, Αλεξάντερ Γκρότεντικ, Άλαν Μπέικερ, Πιέρ Ντελινιέ. Πρόκειται για το ένα πέμπτο περίπου των μεταλλίων που έχουν απονεμηθεί μέχρι τώρα.

Ωστόσο, το μεγάλο κίνητρο των μαθηματικών που επιδιώκουν να κερδίσουν αυτά τα μετάλλια, δεν είναι το χρήμα. Σε αντίθεση με τα «χοντρά λεφτά» που συνοδεύουν τα Νόμπελ, το μετάλλιο Φιλντς συνοδεύεται μόλις από το πενιχρό ποσό των 15.000 καναδικών δολαρίων. Έτσι, τα εκατομμύρια του Κλέι έρχονται να καλύψουν εν μέρει τη διαφορά από τους πακτωλούς των Νόμπελ. Σε αντίθεση με τα μετάλλια Φιλντς και το βραβείο των εκδοτικών οίκων Φάμπερ-Μπλούμσμπερι για την εικασία του Γκόλντμπαχ, τα χρήματα περιμένουν, ανεξαρτήτως ηλικίας ή εθνικότητας και χωρίς χρονικό περιορισμό για τη λύση. Ο μόνος κίνδυνος που απειλεί το έπαθλο είναι ο ανελέητος πληθωρισμός.

Για τους μαθηματικούς που κυνηγούν τα προβλήματα της χιλιετίας, ένα κίνητρο, πολύ πιο σημαντικό από τα χρήματα, είναι η προοπτική της αθανασίας. Πράγματι, όποιος λύσει ένα από τα προβλήματα του Κλέι θα κερδίσει ένα εκατομμύριο δολάρια, αλλά αυτό δεν είναι τίποτα σε σύγκριση με την προοπτική να χαραχτεί το όνομά του στον χάρτη του παγκόσμιου πολιτισμού. Η Υπόθεση του Ρίμαν, το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, η εικασία του Γκόλντμπαχ, ο χώρος Χίλμπερτ, η συνάρτηση Ταυ του Ραμανουτζάν, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, η κυκλική μέθοδος των Χάρντι-Λίτλγουντ, οι σειρές Φουριέ, η αρίθμηση του Γκέντελ, οι ρίζες του Ζίγκελ, ο τύπος για το ίχνος του Σέλμπεργκ, το κόσκινο του Ερατοσθένη, οι πρώτοι του Μερσέν, το γινόμενο του Όιλερ, οι ακέραιοι του Γκάους – όλες αυτές οι ανακαλύψεις πρόσφεραν την αθανασία στους μαθηματικούς που τις ξέθαψαν κατά τη διάρκεια της εξερεύνησης των πρώτων αριθμών. Αυτά τα ονόματα θα ζήσουν πολύ περισσότερο από εκείνα του Αισχύλου, του Γκαίτε και του Σαίξπηρ, γιατί όπως εξήγησε ο Χάρντι, «οι γλώσσες πεθαίνουν, όχι όμως και οι μαθηματικές ιδέες». Μπορεί ο όρος «αθανασία» να είναι αφελής, αλλά πιθανότατα οι μαθηματικοί έχουν τη μεγαλύτερη δυνατότητα να κερδίσουν οτιδήποτε αυτός σημαίνει.

Οι μαθηματικοί που εργάστηκαν σκληρά και επί πολλά χρόνια στην εποποιία της προσπάθειας για κατανόηση των πρώτων αριθμών, είναι κάτι παραπάνω από απλά ονόματα εντοιχισμένα σε μαρμάρινες πλάκες. Όλες αυτές οι περίπλοκες διαδρομές που ακολούθησε η ιστορία των πρώτων είναι δημιούργημα ενός πλούσιου και ποικιλόμορφου θιάσου που απαρτιζόταν από ζωντανούς ανθρώπους. Ιστορικές προσωπικότητες βγαλμένες από τη γαλλική επανάσταση, φίλοι του Ναπολέοντα, εναλλάσσονται με σύγχρονους μάγους που δραστηριοποιούνται στο διαδίκτυο. Οι ιστορίες ενός υπαλλήλου από τις Ινδίες, ενός Γάλλου κατασκόπου που παρά τρίχα γλίτωσε την εκτέλεση, κι ενός Εβραίου από την Ουγγαρία που σώθηκε από την καταδίωξη της ναζιστικής Γερμανίας, συνδέονται όλες με τη μονομανία των πρώτων. Όλοι αυτοί οι χαρακτήρες, στην προσπάθειά τους να προσθέσουν το όνομά τους στο μαθηματικό Πάνθεον δημιούργησαν μια πρωτοφανή προοπτική: οι πρώτοι ένωσαν τους μαθηματικούς πέρα από τα εθνικά σύνορα: Κίνα, Γαλλία, Ελλάδα, Αμερική, Νορβηγία, Αυστραλία, Ρωσία, Ινδία και Γερμανία είναι μερικές μόνο από τις χώρες απ’ όπου προήλθαν διαπρεπή στελέχη της νομαδικής φυλής των μαθηματικών. Κάθε τέσσερα χρόνια, μαζεύονται για να αφηγηθούν τις ταξιδιωτικές τους περιπέτειες στα Διεθνή Συνέδρια.

Η επιθυμία να αφήσει το αποτύπωμά του στην ιστορία, δεν είναι το μόνο κίνητρο του μαθηματικού. Όπως ακριβώς ο Χίλμπερτ τόλμησε να κοιτάξει μπροστά, στο άγνωστο, έτσι κι η απόδειξη της Υπόθεσης του Ρίμαν θα αποτελέσει το έναυσμα για μια καινούρια αρχή. Όταν ο Γουάιλς μίλησε στη συνέντευξη Τύπου κατά την οποία ανακοινώθηκαν τα βραβεία Κλέι, φρόντισε να τονίσει ότι τα συγκεκριμένα προβλήματα δεν αποτελούσαν τον τελικό στόχο:

Υπάρχει ένας ολόκληρος μαθηματικός κόσμος που απλώνεται εκεί πέρα, και που περιμένει να ανακαλυφθεί. Προσπαθήστε να φανταστείτε τους Ευρωπαίους του 1600. Ξέρουν ότι πέρα από τον Ατλαντικό υπάρχει ένας νέος κόσμος. Με ποιο τρόπο θα θέσπιζαν βραβεία για τη συμβολή στην ανακάλυψη και την ανάπτυξη των ΗΠΑ; Όχι βραβεία για την εφεύρεση ενός αεροπλάνου, όχι βραβεία για την εφεύρεση ενός υπολογιστή, όχι βραβεία για τη θεμελίωση της πόλης του Σικάγου, όχι βραβεία για την εφεύρεση θεριζο-αλωνιστικών μηχανών. Αυτές οι εφευρέσεις είναι μέρος της Αμερικής, κανείς όμως δεν θα μπορούσε να τις είχε φανταστεί το 1600. Όχι. Αυτό που θα είχαν θεσπίσει θα ήταν ένα βραβείο για την επίλυση προβλημάτων, όπως αυτό του γεωγραφικού μήκους.

Στα Μαθηματικά, η Υπόθεση του Ρίμαν παίζει τον ρόλο του γεωγραφικού μήκους. Η λύση της Υπόθεσης του Ρίμαν θα προσφέρει τη δυνατότητα να χαρτογραφήσουμε τα σκοτεινά νερά του απέραντου ωκεανού των αριθμών. Αντιπροσωπεύει την απαρχή της κατανόησής μας για τους αριθμούς της φύσης. Αν καταφέρναμε να ανακαλύψουμε το μυστικό της πλοήγησης στον χώρο των πρώτων αριθμών, ποιος ξέρει τι άλλο θα ανακαλύπταμε εκεί πέρα, που θα περιμένει εμάς να το εξερευνήσουμε;

O Συγγραφέας του βιβλίου

Marcus du Sautoy

Είναι καθηγητής μαθηματικών στη φημισμένη έδρα Charles Simonyi –αφιερωμένη στην κατανόηση της επιστήμης– στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης. Διακρίνεται για την ικανότητά του να μεταδίδει τις επιστημονικές έννοιες στο ευρύ αναγνωστικό κοινό και για την πολυσχιδή ενασχόλησή του με κάθε πτυχή των μαθηματικών. Δημοσιεύει άρθρα για τα μαθηματικά σε πολλές εφημερίδες και περιοδικά, και συμμετέχει τακτικά σε ραδιοφωνικές και τηλεοπτικές παραγωγές του BBC. Ο Marcus du Sautoy έγινε γνωστός σε ολόκληρο τον κόσμο από το διεθνές best seller του «Η μουσική των πρώτων αριθμών», καθώς και από το υπέροχο βιβλίο του για τη συμμετρία, με τίτλο «Θεωρία Ομάδων» (κυκλοφορούν από τον εκδοτικό οίκο ΤΡΑΥΛΟΣ).

Πηγή: travlosbooks

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →