▪Εφαπτομένη παραβολής

Έστω μια παραβολή $C$ με εξίσωση

$y=2px$         (1)

και ένα σταθερό της σημείο $M_1(x_1,y_1)$. Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία $ζ$ που διέρχεται από το $M1(x_1,y_1)$ και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο $M_2(x_2,y_2)$. Τότε η $ζ$ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης

$λ=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

και επειδή διέρχεται από το σημείο $M_1(x_1,y_1)$, θα έχει εξίσωση

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ (2)

Επειδή τα σημεία $M_1(x_1,y_1), M_2(x_2,y_2)$ ανήκουν στην παραβολή, οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωση (1). Άρα, θα ισχύει

$y_1^2=2px_1$   και   $y_2^2=2px_2$

οπότε θα έχουμε διαδοχικά

$y_2^2-y_1^2=2p(x_2-x_1)$

$(y_2-y_1)(y_2+y_1)=2p(x_2-x_1)$

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{2p}{y_2+y_1}$

Έτσι, η εξίσωση (2) θα πάρει τη μορφή

$y-y_1=\frac{2p}{y_2+y_1}(x-x_1)$

δηλαδή τη μορφή

$(y_2+y_1)(y-y_1)=2p(x-x_1)$        (3)

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σημείο $M_2(x_2,y_2)$, κινούμενο πάνω στην παραβολή $C$, τείνει να συμπέσει με το σημείο $M_1(x_1,y_1)$. Τότε το $y_2$ τείνει να γίνει ίσο με $y_1$, οπότε η εξίσωση (3) της τέμνουσας ζ τείνει να πάρει τη μορφή

$(y_1+y_1)(y-y_1)=2p(x-x_1)$       

δηλαδή τη μορφή

$y_{1}(y-y_1)=p(x-x_1)$        (4)

Η εξίσωση αυτή παριστάνει την ευθεία ε, που είναι η οριακή θέση της τέμνουσας $ζ$, καθώς το $M_2$ τείνει να συμπέσει με το $M_1$. Η ευθεία ε λέγεται εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο $M_1$. Η εξίσωση της εφαπτομένης γράφεται διαδοχικά:

$y_{1}y-y_{1}^2)=px-px_1$   

$y_{1}y-2px_{1}=px-px_1$ 

$yy_{1}=px+px_1$ 

$yy_{1}=p(x+x_1)$ 

Επομένως, η εφαπτομένη της παραβολής $y^2=2px$ στο σημείο της $M_1(x_1,y_1)$ έχει εξίσωση

$yy_1=p(x+x_1)$

Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής $y^2=4x$ στο σημείο της $M_1(2,1)$ έχει εξίσωση
$y\cdot{2}=2(x+1)$, η οποία γράφεται $y=x+1$.

• Αν μια παραβολή έχει εξίσωση

$x^2=2py$

τότε η εφαπτομένη της στο σημείο $M_1(x_1,y_1)$ έχει εξίσωση

$xx_1=p(y+y_1)$.