▪ Γνησίως αύξουσα

Έστω $ f:\left[ 0,\frac{\pi }{2}\right]\to\left[ 0,\infty\right)$ μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι:

a) $ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( f\left( x\right)-f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)}\left(\sin x-\cos x\right)dx\ge 0$.

b) Υπάρχει $ a\in\left[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right] $, τέτοιο ώστε

$ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\left( f\left( x\right)-f\left(\frac{\pi }{4}\right)\right)}\left(\sin x-\cos x\right)dx\ge 0$.

Romania District Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com