Τετάρτη 27 Φεβρουαρίου 2013

▪Μαθηματική διάλεξη

Κατά τη διάρκεια μιας διάλεξης, καθένας από μία πεντάδα μαθηματικών αποκοιμήθηκε ακριβώς δύο φορές. Για κάθε ζεύγος μαθηματικών υπήρχε κάποια στιγμή που και οι δύο κοιμούνταν ταυτόχρονα. Να δείξετε ότι, κάποια στιγμή, υπήρχαν τρεις μαθηματικοί που κοιμούνταν ταυτόχρονα.
Μαθηματική Ολυμπιάδα Η.Π.Α. - 1986
Αναρτήθηκε από στις 27.2.13
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ28 Μαΐου 2014 στις 9:32 π.μ.

    Έστω $A,B, \Gamma, \Delta,E$ οι πέντε μαθηματικοί. Τους βάζουμε σε μία τυχαία σειρά ύπνου έτσι ώστε καθένας να κοιμήθηκε δύο φορές και ανά δύο κάποια χρονική στιγμή να κοιμούνται ταυτόχρονα.
    Έστω ότι πρώτος κοιμήθηκε ο $B$ και πριν ξυπνήσει κοιμήθηκε ο $A$ ($A$ και $B$ κάποια στιγμή κοιμούνται ταυτόχρονα), πριν ξυπνήσει ο $A$ κοιμάται ο $ \Gamma $ ($A$ και $ \Gamma $ κοιμούνται ταυτόχρονα), πριν ξυπνήσει ο $ \Gamma $ κοιμάται ο $ \Delta $, πριν ξυπνήσει ο $ \Delta $ Ξανακοιμάται ο $A$, πριν ξυπνήσει ο $A$ κοιμάται ο $E$ , πριν ξυπνήσει ο $E$ Ξανακοιμάται ο $B$, πριν ξυπνήσει ο $B$ Ξανακοιμάται ο $ \Gamma $ , πριν ξυπνήσει ο $ \Gamma $ Ξανακοιμάται ο $ \Delta $ και πριν ξυπνήσει ο$ \Delta $ Ξανακοιμάται ο $E$ .
    Ενώ και οι πέντε έχουν κοιμηθεί από δύο φορές οι ταυτόχρονοι ύπνοι είναι 9 (στο παράδειγμα μας λείπει ο Γ-Ε), όμως οι συνδυασμοί των 5 ανά 2 είναι 10 (στο παράδειγμα μας λείπει ο Γ-Ε). Συνεπώς κάποια χρονική στιγμή, υπήρχαν τρεις μαθηματικοί που κοιμούνταν ταυτόχρονα. ο.ε.δ (και στη "μητρική" γλώσσα της Διαμαντο...λου και άλλων QED)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim28 Μαΐου 2014 στις 4:00 μ.μ.

    Καθαρογράφω, χωρίς παραδρομές και κενά (ελπίζω) αυτή τη φορά.

    Γεια σου Ευθύμη και συγχαρητήρια για τη λύση σου! Επίτρεψέ μου, σε απόδοση τιμής στον απόντα εσχάτως φίλο μας, το Γιώργο Ριζόπουλο, να προσθέσω ένα δικό μου σχόλιο / λύση που βασίζεται σε μια αρχή που δίδαξε υποδειγματικά εκείνος.

    Αν πάρουμε για κάθε δυνατό ζευγάρι μαθηματικών την αρχική στιγμή τού ταυτόχρονου ύπνου τους θα έχουμε 10 τέτοιες στιγμές. Στην περίπτωση που 2 από τις στιγμές αυτές συμπίπτουν χρονικά, αφού αντιστοιχούν σε δυο διαφορετικά ζευγάρια μαθηματικών, αναγκαστικά τότε θα κοιμούνται 3 ή 4 μαθηματικοί. Στην περίπτωση πάλι που οι 10 στιγμές είναι διαφορετικές, σκεφτόμαστε ως εξής: Αφού κάθε ένας από τους 5 μαθηματικούς αποκοιμιέται 2 φορές, κάθε μια από τις υπόψη10 στιγμές είναι στιγμή που αποκοιμιέται ένας μαθηματικός. Ας πάρουμε λοιπόν την πρώτη χρονικά από αυτές. Εκείνη τη στιγμή, εξ ορισμού, 2 μαθηματικοί κοιμόντουσαν ταυτόχρονα, επομένως 2 μαθηματικοί αποκοιμήθηκαν ακριβώς εκείνη ή πριν από εκείνη τη στιγμή. Συνεπώς, καθεμιά από τις επόμενες 9 στιγμές που ορίσαμε θα πρέπει να είναι και μία από τις 8 επόμενες στιγμές που αποκοιμιέται κάποιος μαθηματικός. Επομένως, έτσι ή αλλιώς, αναγκαστικά 2 από τις 10 στιγμές συμπίπτουν (pigeonhole principle) και σ’ αυτές κοιμούνται τουλάχιστον 3 μαθηματικοί.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)