Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού
$7^1\times 7^2\times 7^3\times\cdots\times 7^{2009}\times 7^{2010}$.
Malaysia National Olympiad 2010
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
2 σχόλια:
7 *7^2 *7^3*…*7^2010 =7^(1+2+…+2010)
ΑπάντησηΔιαγραφή=7^2021055
Οι δυνάμεις του 7 είναι περιοδικές mod 10.
Αυτό σημαίνει ότι κάθε 4η δύναμη του 7 θα τελειώνει στο ίδιο ψηφίο, άρα αρκεί να βρούμε με τι ισοδυναμεί το 7^2011055 mod 4
Πιο εποπτικά ,όσον αφορά τις περιόδους, ισχύει:
7^4=1 mod 10
7^4κ = 1 mod 10
7^(4k+1)=7 mod10
7^(4k+2)=9 mod10
7^(4k+3)= 3mod 10
και πάλι απ'την αρχή..
Ήτοι: 2021055/4 =505263 + 3 υπόλοιπο =3 mod4
Άρα το τελευταίο ψηφίο toy 7^2021055 είναι το 3.
*Οι ισότητες (=) όσον αφορά τις modular σχέσεις αντιστοιχούν βέβαια σε 'αναλογία' (Kongruenz)
Διόρθωση παραδρομής στην 5η σειρά:
ΑπάντησηΔιαγραφή''..με τι ισοδυναμεί το 2011055 mod4''
(ή το 7^2011055 mod10)