▪ Ιδιότητες αναλογιών

Να αποδειχθούν οι εξής ιδιότητες των αναλογιών:
i) $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrowαδ=βγ$, (εφόσον $βδ ≠ 0$)
ii)  $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrow\frac{α}{γ}=\frac{β}{δ}$, (εφόσον $βγδ ≠ 0$)
iii) $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrow\frac{α+β}{β}=\frac{γ+δ}{δ}$, (εφόσον $βδ ≠ 0$)
iv) $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Rightarrow\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}=\frac{α+γ}{β+δ}$, (εφόσον $βδ(β + δ) ≠ 0$)
ΑΠΟΔΕΙΞΗ
i) Για $βδ ≠ 0$ έχουμε:

$\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrowβδ\cdot\frac{α}{β}=βδ\cdot\frac{γ}{δ}$. 

ii) Για $βγδ ≠ 0$ έχουμε:

$\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrowαδ=βγ\Leftrightarrow\frac{αδ}{γδ}=\frac{βγ}{γδ}\Leftrightarrow\frac{α}{γ}=\frac{β}{δ}$.  

iii) Για $βδ ≠ 0$ έχουμε:

$\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}\Leftrightarrow\frac{α}{β}+1=\frac{γ}{δ}+1\Leftrightarrow\frac{α+β}{β}=\frac{γ+δ}{δ}$.

iν) Για $βδ (β + δ) ≠ 0$, αν θέσουμε $\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}=λ$, έχουμε:

$α = λβ$ και $γ = λδ$

οπότε $α + γ = λ(β + δ)$.
Επομένως, $λ=\frac{α+γ}{β+δ}$, δηλαδή 

$\frac{α}{β}=\frac{γ}{δ}=\frac{α+γ}{β+δ}$.