▪ Μαύρα και άσπρα τρίγωνα

Θεωρούμε ένα κυρτό πολύγωνο με n κορυφές, n ≥ 4. Χωρίζουμε τυχαία το πολύγωνο σε τρίγωνα, που όλες οι κορυφές τους είναι ταυτόχρονα και κορυφές του πολυγώνου, έτσι ώστε ανά δύο να μην έχουν κοινά εσωτερικά σημεία. Χρωματίζουμε με μαύρο χρώμα εκείνα τα τρίγωνα των οποίων δύο πλευρές τους είναι ταυτόχρονα και πλευρές του πολυγώνου, με κόκκινο εκείνα τα τρίγωνα των οποίων μία μόνο πλευρά τους είναι ταυτόχρονα και πλευρά του πολυγώνου και με άσπρο εκείνα τα τρίγωνα των οποίων καμία πλευρά τους δεν είναι και πλευρά του πολυγώνου. Να αποδείξετε ότι τα μαύρα τρίγωνα είναι πάντα περισσότερα κατά δύο από τα άσπρα τρίγωνα.
8η ΒΑΛΚΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΝΕΩΝ - JBMO 2004