▪ Ξενοδοχείο «Το Άπειρο»

Μια πολύ βροχερή βραδιά ένας ταξιδιώτης μπαίνει στο Ξενοδοχείο «To Άπειρο». Δυστυχώς του απαντάει ο ξενοδόχος κ.Hilbert, είμαστε γεμάτοι. Ωστόσο το Ξενοδοχείο διαθέτει μια απειρία δωματίων. Ο κ. Hilbert προσθέτει: 

-Περιμένετε λίγο, μου έρχεται μια ιδέα που θα μας επιτρέψει να σας φιλοξενήσουμε.

Όταν όλοι οι ένοικοι του ξενοδοχείου ξυπνήσουν και μαζευτούν στην αίθουσα συγκεντρώσεων, θα παρακαλέσω τον καθένα να μετακομίσει στο δωμάτιο με νούμερο που βρίσκεται στην αμέσως επόμενη θέση από το δικό του νούμερο δωματίου, δηλαδή ο ένοικος του δωματίου 1 θα πάει στο δωμάτιο 2, αυτός του 2 θα πάει στο δωμάτιο 3, αυτός του 3 στο δωμάτιο 4 κτλ. μέχρι το άπειρο. Ορίστε η λύση, λέει ο κ. Hilbert δίνοντας στον επισκέπτη το κλειδί του δωματίου 1. Την επόμενη νύχτα φτάνει στο ξενοδοχείο ένα λεωφορείο της εταιρείας AVIS ILLIMITED. Ένα ιδιαίτερο λεωφορείο που περιέχει έναν άπειρο αριθμό επιβατών. Αλλά το ξενοδοχείο «Το Άπειρο» ήταν ακόμη γεμάτο. Ο κ. Hilbert επιλύει αυτό το νέο πρόβλημα με τον εξής τρόπο: ο ένοικος του δωματίου 1 θα περάσει στο δωμάτιο με αριθμό 2, αυτός του αριθμού 2 στο δωμάτιο με αριθμό 4, αυτός του 3 στο 6, αυτός του 4 στο 8 κτλ. μέχρι το άπειρο. Χάρη σε αυτές τις μετακινήσεις, ο άπειρος αριθμός των παλαιών επισκεπτών θα τοποθετηθεί στα δωμάτια με άρτιο αριθμό, και έτσι ο άπειρος αριθμός των νέων επισκεπτών θα τοποθετηθεί στα δωμάτια με περιττό αριθμό. Και έτσι φιλοξενήθηκαν όλοι οι επισκέπτες.