Τρίτη 5 Οκτωβρίου 2021

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 1η

  Του Αβραάμ Τσακμακίδη (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η συνάρτηση $f: \Re \rightarrow \Re$ τέτοια, ώστε

$f(2x - 1) = - 2x + 4(1 - e^{2x})$

α) Να δείξετε ότι

$f(x) = 3 - x - 4e^{x+1}$

β) Να βρείτε τη μονοτονία της $f$ , τις ρίζες της και το πρόσημο της.

γ) Να λύσετε την εξίσωση

$(3 - x)e^{ - x -1}=4$

δ) Να λύσετε την ανίσωση

$2x - x^2 + 4e^{ 2x -x^2 +1}> 3 - 2x + 4e^{ 4 - 2x} $

ε) Να δείξετε ότι

$(x^2 + 4) + 4e^{ x^2 +5} \geq  4x + 4e^{4x + 1} $

1 σχόλιο:

  1. α) Θέτουμε στον τύπο f(2x-1) όπου u= 2x-1, κάνουμε τις πράξεις και βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης ως f(u)
    με u να παίρνει τιμές στο R.
    β) Η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το R, έχει μοναδική ρίζα για x=-1, και παίρνει θετικές τιμές για
    x<-1 και αρνητικές τιμές για x>-1.
    γ) Μια μοναδική λύση για x=-1.
    δ) το σύνολο λύσεων της ανίσωσης είναι: (1,3)
    ε) Λύνουμε την ανίσωση x^2 +5-1 >= 4x ισοδύναμα
    x^2-4x+4 >=0 ισοδύναμα (x-2)^2 >= 0 που ισχύει για κάθε πραγματικό αριθμό και η ισότητα ισχύει για x=2
    Συνεπώς επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα και άρα 1-1 έχουμε:
    Για κάθε x ανήκει στο R ισχύει x^2+5-1 >= 4x ισοδύναμα f(x^2+5-1) =< f(4x)..... καταλήγουμε στην ανισότητα της εκφώνησης
    Συνεπώς η ανισότητα της εκφώνησης ισχύει για κάθε πραγματικό x.

    ΑπάντησηΔιαγραφή