Σάββατο, 1 Σεπτεμβρίου 2018

Εμβαδόν τραπεζίου

Όλα τα τρίγωνα στο παρακάτω σχήμα είναι όμοια και το τρίγωνο $ABC$ είναι ισοσκελές, με $AB=AC$. 
[asy] μέγεθος μονάδας (5);  σημείο ((0,0));  σημείο ((60,0)).  dot ((50,10)).  dot ((10,10)).  σημείο ((30, 30)).  κλήρωση ((0,0) - (60,0) - (50,10) - (30,30) - (10,10) - (0,0));  κλήρωση ((10,10) - (50,10)),  ετικέτα ("$ B $", (0,0), SW);  ετικέτα ("$ C $", (60,0), SE).  ετικέτα ("$ E $", (50,10), E).  ετικέτα ("$ D $", (10,10), W).  ετικέτα ("$ A $", (30,30), Ν).  (10,10) - (15,15) - (20,10) - (25,15) - (30,10) - (35,15) - (40,10) - - (45,15) - (50,10)).  κλήρωση ((15,15) - (45,15)).  [/ asy]
Αν τα μικρά τρίγωνα έχουν εμβαδόν $1$ και το εμβαδόν του $ABC$ είναι $40$, να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου $DBCE$.
AMC 10 2018

5 σχόλια:

  1. Έστω x το εμβαδόν του τριγώνου ADE. Το εμβαδόν x αποτελείται από τα 7 μικρά ισοσκελή τρίγωνα aDb, abc, bcd, cde, def, efg, και fgE.και κάθε μικρό τρίγωνο είναι όμοιο με το τρίγωνο ADE με αναλογία μήκους πλευράς 3 προς 4 και αναλογία εμβαδού 3^2/4^2=9/16, οπότε έχουμε εμβαδόν ADE:
    x=7+(9/16)x ----> 16x=7*16+9x ----> 16x-9x=112 ----> 7x=112 ----> x=112/7 ----> x=16cm^2
    Το εμβαδόν του τραπεζίου DBCE είναι:
    DBCE = 40-ADE ----> DBCE = 40-24 ----> DBCE =24cm^2

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Βλέπε σχήμα εδώ:
      https://imgur.com/a/cshjoLh(Carlo de Grandi)
      https://i.imgur.com/YNqigIR.jpg (Α. Δρούγας)

      Διαγραφή
  2. Το τριγωνο ADE ειναι ομοιο με το καθενα απο τα μικρα ισοσκελη τριγωνα εμβαδου 1 με λογο ομοιοτητας 4:1=4.
    Ο λογος των εμβαδων δυο ομοιων τριγωνων ειναι ισος με το τετραγωνο του λογου ομοιοτητας αυτων, αρα Ε(ADE)/E(μικρου τριγωνου)=(4^2) => Ε(ADE)/1=16 => E(ADE)=16.
    Συνεπως: E(DBCE)=E(ABC)-E(ADE)=40-16=24.

    ΑπάντησηΔιαγραφή