"Η πρώτη μου επαφή με την Άλγεβρα ήταν απογοητευτική. Έπρεπε να αποστηθίσω: "το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων τους, προσαυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενό τους". Δεν είχα ιδέα τι σήμαινε αυτό κι όταν δεν μπορούσα να το θυμηθώ ,ο δάσκαλος μού πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι, γεγονός που καθόλου δεν προήγε την κατανόησή μου..."
B.Russel (αυτοβιογραφικό)
Ο Δάσκαλος γράφει στον μαυροπίνακα τους αριθμούς:
1, 2, 3, 4, 5
Kάθε μαθητής μπορεί να σβήνει 2 αριθμούς ,έστω α και β, κάθε φορά, και να τους αντικαθιστά με το άθροισμα και το γινόμενό τους, δηλαδή με τους α+β και αβ.
Μπορεί να εμφανιστεί στον πίνακα, μετά από επαναλήψεις αυτής της διαδικασίας, η πεντάδα με τους αριθμούς: 21, 27, 64, 180, 540;
Η λογική είναι καταρχήν να σπάσουμε κάθε αριθμό στους παραγοντές του
ΑπάντησηΔιαγραφή540=2^2*3^3*5
180=3^2*2^2*5
64=2^6
27=3^3
21=3*7
Θα ελέγξουμε από ποιων 2 πιθανών αριθμών μπορεί να προκύψει το ζητούμενο γινόμενο και αν υπάρχει τουλάχιστον ένα τέτοιο άθροισμα
Για τον 540 τα πιθανά ζεύγη είναι
(2,270) (4,135) (12,45) (36,15) (108,5)
Άρα αποκλείεται να είναι ο τελευταίος αριθμός που προέκυψε από γινόμενο
Για τον 180
(2,90) (4,45) (12,15) (36,5)
Άρα ένα πιθανό ζεύγος είναι το 12+15=27(υπάρχει)
Άρα η προηγ κατάσταση
12,15,21,64,540
Ελέγχουμε τον 64=2^6
(2,32) (4,16) (8,8) άρα δε γίνεται
ο 21=3*7 δεν γίνεται (10 δεν υπάρχει)
ούτε ο 15=3*5
ούτε ο 12 αφου είναι ο μικρότερος(δεν γίνεται το άθροισμα να έιναι μεγαλύτερο)
Τέλος για την
21, 27, 64, 180, 540
ελέγχουμε 27=3^3 άρα (3,9) (12 δεν υπάρχει) και δεν είναι ούτε ο 21 το τελευταίο γινόμενο
Άρα αυτή η πεντάδα δεν μπορεί να προκύψει
donaltie, έχεις ξεχάσει μερικά διατεταγμένα ζεύγη πιθανών γινομένων, αλλά αυτά δεν επηρεάζουν το αποτέλεσμα, ούτε αναιρούν το γεγονός ότι βρήκες μια πολύ μαγκιόρικη λύση! Μπράβο! :-)
ΑπάντησηΔιαγραφήYπάρχει βέβαια και πιο φορμαλιστική /"αυστηρή" απόδειξη, με βάση την αριθμητική modular (το πρόβλημα είναι από κινέζικο μαθηματικό διαγωνισμό) που δεν θα δώσω ακόμη ,μήπως θέλει να δοκιμάσει και κάποιος άλλος.
Ευχαριστώ.περιττό να σας πω ότι δεν ξέρω καν τι είναι το mod :-).
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαρατηρούμε ότι στο σύνολο {21,27,64,180,540} υπάρχουν 4 πολλαπλάσια του 3 και ένας αριθμός που δεν είναι , το 64 .
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ διαδικασία της αντικατάστασης των α και β με τους α+β και αβ οδηγεί στην παρατήρηση, ειδικά για τα πολλαπλάσια του 3, ότι ο αριθμός τους μπορεί μόνο να αυξάνεται και ποτέ να μειώνεται.
Αυτό ισχύει γιατί αν οι α και β είναι πολ/σια του 3 -της μορφής δηλαδή 0 (mod 3)- τότε και το α+β και το αβ είναι πολ/σια του 3.
Αν ένας εκ των α και β είναι πολ/σιο του 3 , τότε το γινόμενο αβ είναι πολ/σιο του 3.
Ο αριθμός των πολλαπλασίων του 3 λοιπόν ,μπορεί να αυξάνεται με έναν μόνο τρόπο, ήτοι, όταν ένας εκ των α ή β είναι ≡ 1 (mod 3) [δηλαδή αφήνει υπόλοιπο 1 στην διαίρεση με το 3] και ο άλλος είναι 2 (mod 3) . Γιατί τότε α+β ≡ 0 (mod 3) και
αβ ≡ 2 (mod 3).
Αφού λοιπόν υπάρχει 1 πολ/σιο του 3 στους αρχικούς αριθμούς (το 3) και 4 στους τελικούς, θα πρέπει για να «στέκει» αυτή η αύξηση στους 4, ο πέμπτος αριθμός να είναι αναγκαστικά της μορφής 2 (mod 3) . Αλλά το 64≡ 1 (mod 3) (3*21 +1), άρα η πεντάδα {21,27,64,180,540} δεν μπορεί να προκύψει στον μαυροπίνακα.