♾️ Ramanujan Nested Radical - Το άπειρο ριζικό που ισούται με 3

Τι Βλέπεις στην Εικόνα;

Ο τύπος:

\[ 3 = \sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}} \]

Είναι ένα από τα αποτελέσματα που έστειλε ο Ινδός ιδιοφυής Σρινιβάσα Ραμανουτζάν το 1911. Φαίνεται αδύνατο — ένα άπειρο από ρίζες να κάνει ακριβώς 3.

Η Απόδειξη Βήμα-Βήμα (Αντίστροφα)

Η ιδέα είναι να ξεκινήσεις από το τέλος και να δουλέψεις προς τα πίσω, χρησιμοποιώντας το κόλπο:

\[ n+1 = \sqrt{1+n(n+2)} \]

1. \(3 = \sqrt{9}\)
2. \(3 = \sqrt{1+8} = \sqrt{1+2\cdot4}\)
3. Αλλά \(4=\sqrt{16}\), άρα \(3=\sqrt{1+2\sqrt{16}}\)
4. \(16=1+15=1+3\cdot5\), άρα \(3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\cdot5}}\)
5. Αλλά \(5=\sqrt{25}\), άρα \(3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{25}}}\)
6. \(25=1+24=1+4\cdot6\), άρα \(3=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\cdot6}}}\)
7. Και συνεχίζεις επ' άπειρον...

Όταν το συνεχίσεις για πάντα, παίρνεις τον αρχικό τύπο. Τόσο απλό, τόσο ιδιοφυές.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →