EisatoponAI: Το Παράδοξο του Parrondo — Πώς Δύο Χαμένα Παιχνίδια Γίνονται Ένα Νικηφόρο

Το παράδοξο του Parrondo περιλαμβάνει δύο παιχνίδια τύχης. Καθένα από αυτά, παιγμένο μόνο του, οδηγεί τον παίκτη σε σταθερές απώλειες με την πάροδο του χρόνου. Όμως, όταν τα παιχνίδια εναλλάσσονται με κάποιο τρόπο — είτε με προκαθορισμένη είτε με τυχαία σειρά — κατά περίεργο τρόπο ο παίκτης αποκτά νικηφόρα προσδοκία. Ένα πολύ παράξενο φαινόμενο!

🪙 Παιχνίδι Α: Το Απλό Νόμισμα

Το παιχνίδι Α είναι πολύ απλό. Αποτελείται από έναν παίκτη και ένα μεροληπτικό νόμισμα, που φέρνει ΚΟΡΩΝΑ με ποσοστό 49,5% και ΓΡΑΜΜΑΤΑ με ποσοστό 50,5% κατά μέσο όρο.

Αν έρθει ΚΟΡΩΝΑ, 1 ευρώ προστίθεται στο κεφάλαιο του παίκτη.
Αν έρθει ΓΡΑΜΜΑΤΑ, 1 ευρώ αφαιρείται.

Αν το κεφάλαιο γίνει αρνητικό, ο παίκτης χάνει. Σαφώς, κάθε παίκτης θα χάσει το Παιχνίδι Α σε μακροπρόθεσμο ορίζοντα — η ελαφρώς αρνητική μεροληψία εγγυάται αυτό.

🎲 Παιχνίδι Β: Το Καλό και το Κακό Νόμισμα

Αυτό το παιχνίδι είναι πιο περίπλοκο και χρησιμοποιεί δύο νομίσματα, ένα «καλό» και ένα «κακό».

Το «καλό» νόμισμα μεροληπτεί υπέρ του παίκτη: ΚΟΡΩΝΑ 74,5%, ΓΡΑΜΜΑΤΑ 25,5%.
Το «κακό» νόμισμα μεροληπτεί εναντίον του: ΚΟΡΩΝΑ 9,5%, ΓΡΑΜΜΑΤΑ 90,5%.

Ποιο νόμισμα ρίχνουμε εξαρτάται από το τρέχον κεφάλαιο: ο παίκτης ρίχνει το «κακό» νόμισμα όταν το κεφάλαιο είναι πολλαπλάσιο του 3 (δηλαδή \(\ldots,-9,-6,-3,0,3,6,9,\ldots\) ευρώ), διαφορετικά ρίχνει το «καλό» νόμισμα.

Ξεκινώντας από κεφάλαιο 0 ευρώ, ο παίκτης ρίχνει αρχικά το «κακό» νόμισμα, το οποίο πιθανότατα φέρνει ΓΡΑΜΜΑΤΑ — το κεφάλαιο πέφτει σε −1 ευρώ. Στη συνέχεια ρίχνει το «καλό» νόμισμα.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι το κεφάλαιο είναι 9 ευρώ: ρίχνοντας το «κακό» νόμισμα, το κεφάλαιο πιθανότατα πέφτει στα 8 ευρώ· μετά ρίχνοντας το «καλό» νόμισμα, πιθανότατα επιστρέφει στα 9. Το καθαρό αποτέλεσμα είναι ότι το κεφάλαιο τείνει να ταλαντώνεται γύρω από πολλαπλάσια του 3, όπως 9, 8, 9, 8, …

Αν προσομοιώσουμε το Παιχνίδι Β σε υπολογιστή για 1.000.000 ρίψεις (είτε με το καλό είτε με το κακό νόμισμα), το συνολικό ποσοστό ΚΟΡΩΝΑ βγαίνει περίπου 49,4%. Δηλαδή, κατά μέσο όρο, ο παίκτης χάνει πιο συχνά απ' όσο κερδίζει — και το Παιχνίδι Β είναι κι αυτό, όπως το Α, ένα παιχνίδι με σίγουρες μακροπρόθεσμες απώλειες.

🔀 Η Εναλλαγή: Πώς Δύο Χαμένα Γίνονται Ένα Νικηφόρο

Είδαμε ότι και τα δύο παιχνίδια, Α και Β, οδηγούν σε σίγουρη απώλεια. Αν όμως τα εναλλάσσουμε με κατάλληλο τρόπο, ο παίκτης κερδίζει με την πάροδο του χρόνου.

Ο λόγος που το Παιχνίδι Β είναι χαμένο είναι το «φράγμα» των πολλαπλασίων του 3: κάθε φορά που το κεφάλαιο φτάνει εκεί, ο παίκτης αναγκάζεται να ρίξει το κακό νόμισμα, με μόλις 9,5% πιθανότητα νίκης. Το Παιχνίδι Α, από την άλλη, δεν επηρεάζεται καθόλου από αυτό το φράγμα — οι πιθανότητές του είναι σχεδόν 50-50 ανεξάρτητα από το κεφάλαιο.

Ας υποθέσουμε ότι εναλλάσσουμε τα παιχνίδια, παίζοντας το Β δύο φορές, μετά το Α δύο φορές, και ούτω καθεξής: BBAABBAA…

Ξεκινώντας με κεφάλαιο 3 ευρώ (αντί για 0, για καλύτερη αναπαράσταση):

1η ρίψη (Β): Το κεφάλαιο (3€) είναι πολλαπλάσιο του 3, άρα ρίχνουμε το κακό νόμισμα. Η πιθανότητα απώλειας είναι 90,5% — το κεφάλαιο πιθανότατα πέφτει στα 2€.
2η ρίψη (Β): Παίζουμε ξανά Β, αλλά τώρα το κεφάλαιο (2€) δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 — οι πιθανότητες είναι υπέρ μας. Ας υποθέσουμε ότι κερδίζουμε και επιστρέφουμε στα 3€.
3η ρίψη (Α): Είμαστε ξανά στο επίφοβο πολλαπλάσιο του 3 (3€), αλλά τώρα παίζουμε Α — που δεν επηρεάζεται από το φράγμα. Οι πιθανότητες είναι σχεδόν 50-50, άρα έχουμε καλή ευκαιρία να «σπάσουμε» το φράγμα των 3 ευρώ.

Αυτός είναι ο μηχανισμός: όποτε το Παιχνίδι Β «κολλάει» στο φράγμα των πολλαπλασίων του 3, το Παιχνίδι Α έρχεται να το «σώσει». Το Α δεν είναι νικηφόρο από μόνο του, αλλά έχει τη δυνατότητα να ξεπερνά το φράγμα εκεί όπου το Β έχει ελάχιστες πιθανότητες.

Προσομοιώσεις υπολογιστή, όπου ο παίκτης εναλλάσσει τα δύο παιχνίδια — παίζοντας το Α συνολικά \(a\) φορές και το Β συνολικά \(b\) φορές, είτε με προκαθορισμένη σειρά (π.χ. \([3,2]\) σημαίνει τη σειρά AAABBAAABB…) είτε με τυχαία σειρά μέσω δίκαιου νομίσματος — δείχνουν ότι το συνδυασμένο κεφάλαιο τείνει να αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, παρότι κάθε παιχνίδι ξεχωριστά οδηγεί σε βέβαιη απώλεια.