Το Εμβαδόν Ανάμεσα σε Δύο Καμπύλες -- Από τον Λογισμό στην Οικονομία

📐 Το Εμβαδόν Ανάμεσα σε Δύο Καμπύλες

Από τον απειροστικό λογισμό στην οικονομική ανάλυση

Το φραγμένο χωρίο που σχηματίζεται ανάμεσα σε δύο τεμνόμενες καμπύλες έχει εμβαδόν που βρίσκεται μέσω ορισμένου ολοκληρώματος. Η ιδέα είναι απλή: αφαιρείς την «κάτω» καμπύλη από την «πάνω», και ολοκληρώνεις στο διάστημα όπου ισχύει αυτή η σχέση.

↕️ Συναρτήσεις του x

Αν έχεις δύο συναρτήσεις \(f(x)\) και \(g(x)\), με την \(f\) («πράσινη» καμπύλη) να βρίσκεται πάνω από την \(g\) («μπλε» καμπύλη) σε όλο το διάστημα \([a,b]\), το εμβαδόν του χωρίου ανάμεσά τους είναι:

\[ A = \int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx \]

↔️ Συναρτήσεις του y

Αντίστοιχα, αν οι συναρτήσεις είναι εκφρασμένες ως προς \(y\), με την \(f(y)\) («πράσινη» καμπύλη) δεξιά της \(g(y)\) («μπλε» καμπύλη) στο διάστημα \([a,b]\):

\[ A = \int_a^b \big(f(y)-g(y)\big)\,dy \]

📊 Το Ίδιο Κόλπο στα Οικονομικά

Φαντάσου μια αγορά ψωμιού. Κάθε αγοραστής έχει στο μυαλό του μια τιμή που είναι διατεθειμένος να πληρώσει — κάποιος θα έδινε 3€ για ένα καρβέλι, κάποιος άλλος μόνο 1,50€. Κάθε πωλητής, από την άλλη, έχει ένα κόστος για να φτιάξει το καρβέλι — ίσως 1€. Όσο η τιμή που είναι πρόθυμος να πληρώσει ο αγοραστής είναι μεγαλύτερη από το κόστος του πωλητή, η συναλλαγή συμφέρει και τους δύο.

Για παράδειγμα, αν ένας αγοραστής πληρώνει 3€ για ένα καρβέλι που κόστισε 1€ στον πωλητή, το «καθαρό όφελος» από αυτή τη μία συναλλαγή είναι 2€ — μοιρασμένο ανάμεσα στους δύο.

Στο γράφημα προσφοράς-ζήτησης, η καμπύλη ζήτησης δείχνει πόσο είναι διατεθειμένος να πληρώσει ο αγοραστής για κάθε ποσότητα καρβελιών, και η καμπύλη προσφοράς δείχνει το κόστος του πωλητή για κάθε ποσότητα. Η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στις δύο καμπύλες, σε οποιοδήποτε σημείο, είναι ακριβώς αυτό το «καθαρό όφελος» — όπως το παράδειγμα με τα 3€ και το 1€ παραπάνω, αλλά για εκείνη τη συγκεκριμένη ποσότητα.

Αν αθροίσεις (δηλαδή ολοκληρώσεις) αυτό το όφελος για κάθε ποσότητα, από το μηδέν μέχρι εκεί που οι δύο καμπύλες τέμνονται, παίρνεις το εμβαδόν ανάμεσά τους — και αυτό το εμβαδόν είναι το συνολικό όφελος όλης της αγοράς. Ίδιο μαθηματικό κόλπο με το εμβαδόν ανάμεσα σε δύο καμπύλες που είδαμε παραπάνω — απλώς εδώ κάθε «λωρίδα» του εμβαδού αντιστοιχεί σε πραγματικά ευρώ κέρδους.

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →