🪣 Ποια Δεξαμενή θα Αδειάσει Πρώτη;
📘 Το Πρόβλημα
Δύο πανομοιότυπες κυλινδρικές δεξαμενές, Α και Β, περιέχουν η καθεμία 100 λίτρα νερού και έχουν πανομοιότυπες βρύσες στο κάτω μέρος τους. Η δεξαμενή Α στέκεται απευθείας στο έδαφος. Η δεξαμενή Β στέκεται πάνω σε ένα ψηλό βάθρο. Και οι δύο βρύσες ανοίγουν ταυτόχρονα.
Ποια δεξαμενή θα αδειάσει πρώτη;
💡 Δες την απάντηση
Και οι δύο δεξαμενές αδειάζουν ταυτόχρονα — το ύψος του βάθρου δεν παίζει κανέναν ρόλο!
Η ταχύτητα με την οποία εκρέει το νερό από μια βρύση στον πάτο μιας δεξαμενής δίνεται από τον νόμο του Torricelli:
όπου \(h\) είναι το ύψος της στήλης νερού μέσα στη δεξαμενή, πάνω από το επίπεδο της βρύσης — όχι το πόσο ψηλά βρίσκεται ολόκληρη η δεξαμενή πάνω στο έδαφος. Το βάθρο κάτω από τη δεξαμενή Β είναι απλώς αέρας· δεν προσθέτει καμία επιπλέον πίεση νερού.
Αφού οι δύο δεξαμενές είναι πανομοιότυπες (ίδιο σχήμα, ίδιος όγκος νερού, ίδιο μέγεθος βρύσης), το \(h\) μέσα σε κάθε δεξαμενή είναι πάντα ίσο, ανά πάσα στιγμή, στις δύο περιπτώσεις. Άρα η ταχύτητα εκροής — και επομένως ο ρυθμός εκκένωσης — είναι πανομοιότυπος τη στιγμή που συγκρίνουμε τις δύο δεξαμενές. Και οι δύο αδειάζουν στον ίδιο ακριβώς χρόνο.
🎭 Η οπτική απάτη: Στην εικόνα, η δέσμη νερού της δεξαμενής Β φαίνεται να εκτοξεύεται πολύ πιο μακριά — αυτό όμως οφείλεται αποκλειστικά στην προβολική κίνηση (μεγαλύτερο ύψος πτώσης ⇒ περισσότερος χρόνος πτώσης ⇒ μεγαλύτερη οριζόντια απόσταση), όχι σε ταχύτερη εκροή από τη βρύση. Ο ρυθμός με τον οποίο χάνεται νερό από κάθε δεξαμενή είναι ο ίδιος.
🚀 EisatoponAI
Φυσική και μαθηματικά, εκεί όπου η διαίσθηση συχνά ξεγελιέται.
1 σχόλιο:
Οι δεξαμενές Θα αδειάσουν ταυτόχρονα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ λόγος είναι ότι η ταχύτητα εκροής από τη βρύση εξαρτάται από το ύψος της στήλης νερού πάνω από τη βρύση. Βάσει του νόμου του Torricelli έχουμε το τύπο: υ= sqrt[2*g*h]
όπου:
• g= 9,81 m/s²: είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας,
• h: είναι το ύψος του νερού πάνω από τη βρύση.
Στις δύο δεξαμενές:
• είναι πανομοιότυπες,
• έχουν την ίδια ποσότητα νερού (100 L),
• οι βρύσες είναι ίδιες και βρίσκονται στο ίδιο σημείο εκροής ως προς τη δεξαμενή.
Άρα, κάθε χρονική στιγμή το ύψος h είναι το ίδιο και στις δύο. Επομένως:
• η πίεση στη βρύση είναι ίδια,
• η ταχύτητα εκροής είναι ίδια,
• η παροχή είναι ίδια.
Το ότι η δεξαμενή Β βρίσκεται πάνω σε ψηλό βάθρο δεν επηρεάζει την εκροή. Η βαρύτητα δρα το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις και η ατμοσφαιρική πίεση στην έξοδο είναι επίσης η ίδια. Το μόνο που αλλάζει είναι ότι το νερό από τη Β πέφτει από μεγαλύτερο ύψος, οπότε αποκτά μεγαλύτερη ταχύτητα πριν χτυπήσει στο έδαφος. Αυτό δεν επηρεάζει τον ρυθμό με τον οποίο αδειάζει τη δεξαμενή.
Συμπέρασμα:
Οι δύο δεξαμενές αδειάζουν με τον ίδιο ρυθμό και αδειάζουν ταυτόχρονα.
Σημείωση:
Στην ανωτέρω εικόνα τα σημεία εκροής και στις δύο δεξαμενές είναι μερικά χιλιόστα πάνω από τον έκαστο πυθμένα με αποτέλεσμα μια μικρή ποσότητα όγκου νερού να παραμένει και στις δύο δεξαμενές, λόγω του ότι τα σημεία εκροής είναι λίγο ψηλότερα από τον πυθμένα. Εφόσον οι βρύσες βρίσκονται στο ίδιο ύψος h0 πάνω από τον πυθμένα, τότε η εκροή σταματά όταν η ελεύθερη επιφάνεια του νερού κατέβει στο ίδιο ύψος με το στόμιο της βρύσης. Από εκεί και πέρα η υδροστατική πίεση που προκαλεί την εκροή μηδενίζεται (αγνοώντας τριχοειδή φαινόμενα κ.λπ.).
Άρα:
• Και στις δύο δεξαμενές θα παραμείνει μια ποσότητα νερού.
• Επειδή οι δεξαμενές είναι πανομοιότυπες και οι βρύσες βρίσκονται στο ίδιο σχετικό ύψος από τον πυθμένα, η ποσότητα που θα απομείνει είναι ακριβώς η ίδια.
Αν η διατομή της δεξαμενής είναι A και το στόμιο βρίσκεται σε ύψος h0 από τον πυθμένα, τότε ο όγκος που παραμένει είναι
Vυπόλοιπο=A*h0
Επομένως, αν κάθε δεξαμενή περιείχε αρχικά 100 L, τελικά θα εκρεύσουν
Vυπόλοιπο=A*h0 === Vυπόλοιπο=100L-A*h0
και θα μείνει ο υπόλοιπο όγκου νερού ίσο με:
Vυπόλοιπο =A*h0