EisatoponAI: Ένα Τριπλό Ολοκλήρωμα -- Υπολόγισε το με Αλλαγή Μεταβλητής

∭ Ένα Τριπλό Ολοκλήρωμα

Υπολόγισε το τριπλό ολοκλήρωμα:

\[ I = \iiint\limits_{\substack{x+y+z\ge 1 \\ x,y,z\ge 0}} \frac{dx\,dy\,dz}{(1+x+y+z)^4} \]

💡 Δες τη λύση

Θέτουμε \(u=x+y+z\). Για \(x,y,z\ge 0\), ο όγκος του χωρίου \(x+y+z\le s\) είναι \(s^3/6\), άρα η «πυκνότητα» ως προς \(u\) είναι \(u^2/2\). Οπότε:

\[ I = \int_1^{\infty}\frac{1}{(1+u)^4}\cdot\frac{u^2}{2}\,du = \frac12\int_1^{\infty}\frac{u^2}{(1+u)^4}\,du \]

Με αντικατάσταση \(t=1+u\):

\[ \int\frac{u^2}{(1+u)^4}\,du = \int\left(t^{-2}-2t^{-3}+t^{-4}\right)dt = -\frac1t+\frac1{t^2}-\frac1{3t^3}+C \]

Υπολογίζοντας από \(t=2\) (όπου \(u=1\)) έως \(t\to\infty\):

\[ \int_1^{\infty}\frac{u^2}{(1+u)^4}\,du = 0-\left(-\frac12+\frac14-\frac1{24}\right) = \frac{7}{24} \]

Άρα:

\[ I = \frac12\cdot\frac{7}{24} = \frac{7}{48} \]