🧩 5 Ακόμη Μαθηματικοί Γρίφοι — Just for the Fun of It
Δεύτερη δόση γρίφων από τη στήλη γρίφων του περιοδικού Quantum
💰 Ισοζυγισμένος Λογαριασμός
Σύμφωνα με ένα συμβόλαιο, ένας εργάτης πρέπει να πληρώνεται 48 φράγκα για κάθε ημέρα που εργάζεται, και να επιστρέφει 12 φράγκα για κάθε ημέρα που δεν εργάζεται. Μετά από 30 ημέρες, ο εργάτης δεν χρωστάει τίποτα και δεν του χρωστάνε τίποτα. Πόσες από αυτές τις 30 ημέρες εργάστηκε; (Étienne Bézout [1730–1793])
❓ Τι Δεν Πάει Καλά;
Κάποτε βρήκα ένα παράξενο σημειωματάριο. Ήταν γραμμένες σε αυτό εκατό προτάσεις:
«Υπάρχει ακριβώς μία λανθασμένη πρόταση σε αυτό το σημειωματάριο.»
«Υπάρχουν ακριβώς δύο λανθασμένες προτάσεις σε αυτό το σημειωματάριο.»
⋮
«Υπάρχουν ακριβώς εκατό λανθασμένες προτάσεις σε αυτό το σημειωματάριο.»
Ποια από αυτές τις προτάσεις είναι αληθής; (A. Savin)
🔥 «Φωτιά!»
Ποιο είναι πιο αποτελεσματικό στο σβήσιμο μιας φωτιάς — κρύο νερό ή βραστό νερό; (S. Krotov)
👟 Η Αριθμητική του Κορδονιού
Υπάρχουν πολλοί τρόποι να περάσεις το κορδόνι σε αθλητικά παπούτσια πάλης, όπως φαίνεται στην εικόνα — αν και δεν μπορούμε να δούμε πώς είναι διευθετημένο το κορδόνι μέσα στο παπούτσι. Μπορείς να πεις ακριβώς πόσοι τρόποι υπάρχουν; (N. Zilberberg)
✂️ Στη Μέση
Κόψε το σχήμα δεξιά σε δύο ίσα (σύμφωνα) κομμάτια.
Πηγή και αναφορά:
Τα πέντε προβλήματα (B111–B115) προέρχονται από τη στήλη γρίφων «Just for the Fun of It» του περιοδικού Quantum (η αμερικανική έκδοση του ρωσικού περιοδικού Kvant), με πρωτότυπη εικονογράφηση του Pavel Chernusky. Οι πρωτότυπες απαντήσεις του περιοδικού βρίσκονταν στη σελίδα 58 του αντίστοιχου τεύχους.
8 σχόλια:
Σωκράτη, καλημέρα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜη αναρτάς προβλήματα από το Kvant, διότι ορισμένα αναφέρονται σε αριθμούς όπως το προηγούμενο που ανάρτησες "Β106.) Archeometics" , δες το σχόλιο που έκανα, ή σε εικόνες που είναι χρήσιμες για πληροφορίες για τη λύση του προβλήματος, το ίδιο και για το "Β106.) Archeometics" .
Δες τα δύο τελευταία που ανάρτησες σήμερα.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλό θα ήταν να βρίσκεις την ρωσική έκδοση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΔούλεψε 6 ημέρες και καθόταν 24 ημέρες. Έστω α οι ημέρες που δούλεψε και β οι ημέρες που καθόταν. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής δύο εξισώσεις:
ΑπάντησηΔιαγραφήα+β=30 (1)
48α-12β=0 (2)
Από την (1) συνάγουμε:
α+β=30 ===> α=30-β (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι' έχουμε:
48α-12β=0 ===> 48*(30-β)-12β=0 ===> 1.440-48β-12β=0 ===> 48β+12β=1.440 ===> 60β=1.440 ===> β=1.440/60 ===> β=24 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (3) κι' έχουμε:
α=30-β ===> α=30-24 ===> α=6 (5)
Επαλήθευση:
α+β=30 ===> 6+24=30
48α-12β=0 ===> 48*6-12*24=0 ===> 288-288=0 ο.ε.δ.
Λαμπρός εργάτης!!
Εφόσον οι προτάσεις αλληλοαναιρούνται μόνο μία από τις 100 προτάσεις μπορεί να είναι αληθής η 99η πρόταση.
ΑπάντησηΔιαγραφήΤο καυτό νερό σβήνει τη φωτιά ταχύτερα από το κρύο νερό, διότι εξατμίζεται γρηγορότερα και ο ατμός εμποδίζει την προσέγγιση του αέρα που συντηρεί τη φωτιά.
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια την εικόνα της εκφώνησης όρα εδώ: https://imgur.com/a/8O7WxoP
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω ότι η μπότα έχει 8 ζεύγη τρυπών (16 τρύπες συνολικά), όπως στο σχήμα. Το κορδόνι αποτελεί μία συνεχή διαδρομή που περνά από κάθε τρύπα μία φορά.
Η καταμέτρηση γίνεται ως εξής:
1. Επιλογή αρχικού άκρου.
Διαλέγουμε από ποια από τις δύο επάνω τρύπες θα ξεκινήσει η διαδρομή. Αυτό δίνει 2 δυνατότητες.
2. Επιλογές κατά την κάθοδο.
Καθώς το κορδόνι κατεβαίνει, σε κάθε ένα από τα επόμενα 7 επίπεδα υπάρχει επιλογή για το πώς θα συνεχίσει (αν θα περάσει απέναντι ή θα συνεχίσει στην ίδια πλευρά, σύμφωνα με τους κανόνες του προβλήματος). Κάθε επίπεδο δίνει 2 επιλογές.
Άρα οι επιλογές αυτές είναι:
2^7=128.
3. Οι τρεις τελικές διατάξεις.
Αφού καθοριστούν οι προηγούμενες επιλογές, απομένουν 3 διαφορετικοί τρόποι να ολοκληρωθεί η διαδρομή χωρίς να παραβιαστούν οι κανόνες.
Επομένως ο συνολικός αριθμός είναι
2×2^7×3=3×2^8=3* 256=768
Αυτό όμως μετράει δύο φορές κάθε δέσιμο, γιατί η ίδια διάταξη προκύπτει αν ακολουθήσουμε το κορδόνι από το ένα άκρο ή από το άλλο. Επομένως διαιρούμε διά 2:
768/2=384
Άρα ο συνολικός αριθμός τρόπων είναι:
384 τρόποι
Για την εικόνα του προβλήματος όρα εδώ:
Για την εικόνα της εκφώνησης του προβλήματος "Στη Μέση" και την εικόνα της λύσης όρα εδώ: https://imgur.com/a/PbJW1pj
ΑπάντησηΔιαγραφή