EisatoponAI: Ένα προχωρημένο πρόβλημα θεωρίας αριθμών με αλυσίδα διαιρετότητας

🧠 Αλυσίδα Διαιρετότητας

(α) Να βρεθούν φυσικοί αριθμοί \(a > b > c > 10^{10}\) τέτοιοι ώστε τα \(a, b, c\) να μην έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του \(1\) και να ισχύουν: \[ a^8 + b^8 + c^8 \ \text{διαιρείται από} \ a^4 + b^4 + c^4, \] \[ a^4 + b^4 + c^4 \ \text{διαιρείται από} \ a^2 + b^2 + c^2, \] \[ a^2 + b^2 + c^2 \ \text{διαιρείται από} \ a + b + c. \]

(β) Να βρεθούν αριθμοί \(A > B > C > a > b > c > 10^{10}\) τέτοιοι ώστε σε κάθε τριάδα \((A,B,C)\), \((a,b,c)\) οι αριθμοί να μην έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του \(1\) και να ισχύουν: \[ A^2 + B^2 + C^2 \ \text{διαιρείται από} \ a + b + c, \] \[ a^2 + b^2 + c^2 \ \text{διαιρείται από} \ A + B + C. \]