GCD LCM Puzzle – Evaluate this Huge Expression

🧩 GCD – LCM Challenge

👉 Μπορείς να υπολογίσεις αυτή την τεράστια παράσταση;

Έστω \( \gcd(a,b) \) ο μέγιστος κοινός διαιρέτης και \( \mathrm{lcm}(a,b) \) το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

Να υπολογιστεί η παράσταση: \[ \mathrm{lcm}(2025,\mathrm{lcm}(2024,\gcd(2023,\gcd(2022,\dots \mathrm{lcm}(4,\gcd(3,\gcd(2,1)))\dots ))) \]
Οι πράξεις \( \gcd \) και \( \mathrm{lcm} \) εναλλάσσονται ανά δύο βήματα.

👉 Δες τη λύση

Παρατηρούμε ότι: \[ \gcd(x, x-1) = 1 \] για κάθε φυσικό αριθμό \(x\).

Άρα: \[ \gcd(x, \gcd(x-1, a)) = \gcd(x, x-1, a) = 1 \]

👉 Αυτό σημαίνει ότι κάθε "αλυσίδα" από συνεχόμενα gcd καταλήγει σε 1.

Έτσι όλη η μεγάλη έκφραση απλοποιείται δραματικά σε: \[ \mathrm{lcm}(2025, \mathrm{lcm}(2024, 1)) \] \[ = \mathrm{lcm}(2025, 2024) \]
Επειδή οι αριθμοί είναι διαδοχικοί: \[ \gcd(2025,2024)=1 \] άρα: \[ \mathrm{lcm}(2025,2024)=2025 \cdot 2024 \] \[ = \boxed{4098600} \]

📘

Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ

PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify

📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα

Δες τα βιβλία →