Έστω μια συνεχής συνάρτηση \(f(x)\) με
\[
f(0) > 0.
\]
Ζητείται να βρεθεί συνάρτηση \(f(x)\) τέτοια ώστε
\[
f(x + y) = f(x)\,f(y)
\]
για όλους τους πραγματικούς \(x, y\).
Ερώτημα: Μπορείτε να βρείτε τη γενική μορφή της συνάρτησης \(f(x)\);
Continuous Function with a Multiplicative Property
Note: A full proof of this problem requires some knowledge of limits.
Let \(f(x)\) be a continuous function such that
\[
f(0) > 0.
\]
We want to find a function \(f(x)\) satisfying
\[
f(x + y) = f(x)\,f(y)
\]
for all real numbers \(x, y\).
(Remark: \(x\) and \(y\) are just inputs to \(f(x)\). For example, if \(f(x)=2x\), then
\(
f(x + y) = 2(x + y),
\)
but here we specifically require
\(f(x+y)=f(x)f(y)\).)
Question: Can you find the general solution for the function \(f(x)\)?
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου